Решения задач егэ

Каждые несколько лет какой-нибудь новый подполковник открывает для себя «Плутон». После этого он звонит в лабораторию, чтобы узнать дальнейшую судьбу ядерного ПВРД. Модная нынче тема, но мне представляется, что гораздо интереснее ядерный прямоточный воздушно-реактивный двигатель, ведь ему не надо таскать с собой рабочее тело. Предполагаю, что в послании Президента речь шла именно о нем, но почему-то все сегодня начали постить про ЯРД??? Соберу-ка я тут все в одном месте. Прелюбопытные мысли, скажу я вам, появляются, когда вчитаешься в тему. И очень неудобные вопросы. Прямоточный воздушно-реактивный двигатель (ПВРД) - реактивный двигатель, является самым простым в классе воздушно-реактивных двигателей (ВРД) по устройству. Относится к типу ВРД прямой реакции, в которых тяга создается исключительно за счёт реактивной струи, истекающей из сопла. Необходимое для работы двигателя повышение давления достигается за счёт торможения встречного потока воздуха. ПВРД неработоспособен при низких скоростях полёта, тем более - при нулевой скорости, для вывода его на рабочую мощность необходим тот или иной ускоритель. Во второй половине 1950-х годов, в эпоху холодной войны, в США и СССР разрабатывались проекты ПВРД с ядерным реактором. Автор фото: Leicht modifiziert aus http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Pluto1955.jpg Автор фото: Leicht modifiziert aus http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Pluto1955.jpg Источником энергии этих ПВРД (в отличие от остальных ВРД) является не химическая реакция горения топлива, а тепло, вырабатываемое ядерным реактором в камере нагрева рабочего тела. Воздух из входного устройства в таком ПВРД проходит через активную зону реактора, охлаждая его, нагревается сам до рабочей температуры (около 3000 К), а затем истекает из сопла со скоростью, сравнимой со скоростями истечения для самых совершенных химических ЖРД. Возможное назначения летательного аппарата с таким двигателем: - межконтинентальная крылатая ракета-носитель ядерного заряда; - одноступенчатый воздушно-космический самолёт. В обеих странах были созданы компактные малоресурсные ядерные реакторы, которые вписывались в габариты большой ракеты. В США по программам исследований ядерного ПВРД «Pluto» и «Tory» в 1964 году были проведены стендовые огневые испытания ядерного прямоточного двигателя «Tory-IIC» (режим полной мощности 513 МВт в течение пяти минут с тягой 156 кН). Лётные испытания не проводились, программа была закрыта в июле 1964 года. Одна из причин закрытия программы - совершенствование конструкции баллистических ракет с химическими ракетными двигателями, которые вполне обеспечили решение боевых задач без применения схем с сравнительно дорогостоящими ядерными ПВРД. Про вторую в российских источниках сейчас не принято говорить... Но мы к ней еще вернемся. В проекте «Плутон» должна была использоваться тактика полета на низких высотах. Данная тактика обеспечивала скрытность от радаров системы ПВО СССР. Для достижения скорости, на которой работал бы прямоточный воздушно-реактивный двигатель, «Плутон» должен был с земли запускаться при помощи пакета обычных ракетных ускорителей. Запуск ядерного реактора начинался только после того, как «Плутон» достигал высоты крейсерского полета и достаточно удалялся от населенных районов. Ядерный двигатель, дающий практически неограниченный радиус действия, позволял ракете летать над океаном кругами в ожидании приказа перехода на сверхзвуковую скорость к цели в СССР. Эскизный проект SLAM Эскизный проект SLAM Было принято решение провести статическое испытание полномасштабного реактора, который предназначался для прямоточного двигателя. Поскольку после запуска реактор «Плутона» становился чрезвычайно радиоактивным, его доставка на место испытаний осуществлялась по специально построенной полностью автоматизированной железнодорожной линии. По данной линии реактор перемещаться на расстояние примерно двух миль, которые разделяли стенд статических испытаний и массивное «демонтажное» здание. В здании «горячий» реактор демонтировался для проведения обследования при помощи оборудования, управляемого дистанционно. Ученые из Ливермора наблюдали за процессом испытаний с помощью телевизионной системы, которая размещалась в жестяном ангаре далеко от испытательного стенда. На всякий случай ангар оборудовался противорадиационным укрытием с двухнедельным запасом пищи и воды. Только чтобы обеспечить поставки бетона необходимого для строительства стен демонтажного здания (толщина составляла от шести до восьми футов), правительство Соединенных Штатов приобрело целую шахту. Миллионы фунтов сжатого воздуха хранились в трубах, использующихся в нефтедобыче, общей протяженностью 25 миль. Данный сжатый воздух предполагалось использовать для имитации условий, в которых прямоточный двигатель оказывается во время полета на крейсерской скорости. Чтобы обеспечить в системе высокое воздушное давление, лаборатория позаимствовала с базы подводных лодок (Гротон, шт. Коннектикут) гигантские компрессоры. Для проведения теста, во время которого установка работала на полной мощности в течение пяти минут, требовалось прогонять тонну воздуха через стальные цистерны, которые заполнялись более чем 14 млн. стальных шариков, диаметром 4 см. Данные цистерны нагревались до 730 градусов при помощи нагревательных элементов, в которых сжигали нефть. Установленный на железнодорожной платформе, Тори-2С готов к успешным испытаниям. Май 1964 года Установленный на железнодорожной платформе, Тори-2С готов к успешным испытаниям. Май 1964 года 14 мая 1961 г. инженеры и ученые, находящиеся в ангаре, откуда управлялся эксперимент, задержали дыхание - первый в мире ядерный прямоточный реактивный двигатель, смонтированный на ярко-красной железнодорожной платформе, возвестил о своем рождении громким ревом. Тори-2А запустили всего на несколько секунд, во время которых он не развивал своей номинальной мощности. Однако считалось, что тест являлся успешным. Самым важным стало то, что реактор не воспламенился, чего крайне опасались некоторые представители комитета по атомной энергетике. Почти сразу после испытаний Меркл приступил к работам по созданию второго реактора «Тори», который должен был иметь большую мощность при меньшей массе. Работы по Тори-2B дальше чертежной доски не продвинулись. Вместо него ливерморцы сразу построили Тори-2C, который нарушил безмолвие пустыни спустя три года после испытаний первого реактора. Спустя неделю данный реактор был вновь запущен и проработал на полной мощности (513 мегаватт) в течение пяти минут. Оказалась что радиоактивность выхлопа значительно меньше ожидаемой. На этих испытаниях также присутствовали генералы ВВС и чиновники из комитета по атомной энергетике. В это время заказчиков из Пентагона, финансировавших проект «Плутон», начали одолевать сомнения. Поскольку ракета запускалась с территории США и летела над территорией американских союзников на малой высоте, чтобы избежать обнаружения системами ПВО СССР, некоторые военные стратеги задумались - а не будет ли ракета представлять для союзников угрозу? Еще до того как ракета «Плутон» сбросит бомбы на противника, она сначала оглушит, раздавит и даже облучит союзников. (Ожидалось, что от Плутона, пролетающего над головой, уровень шума на земле будет составлять около 150 децибел. Для сравнения - уровень шума ракеты, отправившей американцев на Луну (Сатурн-5), на полной тяге составила 200 децибел). Разумеется, разорванные барабанные перепонки были бы наименьшей проблемой, если бы вы оказались под пролетающим над вашей головой обнаженным реактором, который изжарил бы вас как цыпленка гамма- и нейтронным излучением. Тори-2C Тори-2C Хотя создатели ракеты утверждали, что «Плутон» изначально по своей сути также неуловим, военные аналитики выражали недоумение - как нечто такое шумное, горячее, большое и радиоактивное может оставаться незамеченным на протяжении времени, которое необходимо для выполнения задачи. В это же время военно-воздушные силы США уже начали развертывать баллистические ракеты «Атлас» и «Титан», которые были способны достичь целей на несколько часов раньше летающего реактора, и противоракетная система СССР, страх перед которой стал основным толчком для создания «Плутона», так и не стала для баллистических ракет помехой, несмотря на успешно проведенные испытательные перехваты. Критики проекта придумали собственную расшифровку аббревиатуры SLAM - slow, low, and messy - медленно, низко и грязно. После успешных испытаний ракеты «Полярис» флот, изначально проявлявший интерес к использованию ракет для пусков с подводных лодок или кораблей, также начал покидать проект. И, наконец, стоимость каждой ракеты составляла 50 миллионов долларов. Внезапно «Плутон» стал технологией, которой нельзя найти приложения, оружием, у которого не было подходящих целей. Однако последним гвоздем в гроб «Плутона» стал всего один вопрос. Он настолько обманчиво простой, что можно извинить ливерморцев за то, что они ему сознательно не уделили внимания. «Где проводить летные испытания реактора? Как убедить людей в том, что во время полета ракета не потеряет управление и не полетит над Лос-Анджелесом или Лас-Вегасом на малой высоте?» - спрашивал физик ливерморской лаборатории Джим Хэдли, который до самого конца работал над проектом «Плутон». В настоящее время он занимается обнаружением ядерных испытаний, которые проводятся в других странах, для подразделения Z. По признанию самого Хэдли, не было никаких гарантий, что ракета не выйдет из под контроля и не превратится в летающий Чернобыль. Было предложено несколько вариантов решения данной проблемы. Одно из них - запуск Плутона около острова Уэйк, где ракета летала бы, нарезая восьмерки над принадлежащей Соединенным Штатам частью океана. «Горячие» ракеты предполагалась затапливать на глубине 7 километров в океане. Однако даже тогда, когда комиссия по атомной энергетике склоняла мнение людей думать о радиации как о безграничном источнике энергии, предложения сбрасывать множество загрязненных радиацией ракет в океан было вполне достаточно, чтобы работы приостановили. 1 июля 1964 г, спустя семь лет и шесть месяцев с начала работ, проект «Плутон» закрыли комиссия по атомной энергетике и военно-воздушные силы. По словам Хэдли, каждые несколько лет какой-нибудь новый подполковник военно-воздушных сил открывает для себя «Плутон». После этого он звонит в лабораторию, чтобы узнать дальнейшую судьбу ядерного ПВРД. Энтузиазм у подполковников пропадает сразу же после того как Хэдли рассказывает о проблемах с радиацией и летными испытаниями. Больше одного раза никто Хэдли не звонил. Если кого-то захочет вернуть к жизни «Плутон», то, возможно, ему удастся найти несколько новобранцев в Ливерморе. Однако их много не будет. Идею того, что могло стать адским безумным оружием, лучше оставить в прошлом. Технические характеристики ракеты SLAM: Диаметр - 1500 мм. Длинна - 20000 мм. Масса - 20 тонн. Радиус действия - не ограниченный (теоретически). Скорость на уровне моря - 3 Маха. Вооружение - 16 термоядерных бомб (мощность каждой 1 мегатонна). Двигатель - ядерный реактор (мощность 600 мегаватт). Система наведения - инерциальная + TERCOM. Максимальная температура обшивки - 540 градусов Цельсия. Материал планера - высокотемпературная, нержавеющая сталь Рене 41. Толщина обшивки - 4 - 10 мм. Тем не менее, ядерный ПВРД перспективен как двигательная система для одноступенчатых воздушно-космических самолётов и скоростной межконтинентальной тяжёлой транспортной авиации. Этому способствует возможность создания ядерного ПВРД, способного работать на дозвуковых и нулевых скоростях полёта в режиме ракетного двигателя, используя бортовые запасы рабочего тела. То есть, например, воздушно-космический самолёт с ядерным ПВРД стартует (в том числе взлетает), подавая в двигатели рабочее тело из бортовых (или подвесных) баков и, уже достигнув скоростей от М = 1, переходит на использование атмосферного воздуха. Как заявил президент РФ В. В. Путин, в начале 2018 года «состоялся успешный пуск крылатой ракеты с ядерной энергоустановкой». При этом, по его заявлению, дальность такой крылатой ракеты "неограниченная". Интересно, а в каком регионе проводились испытания и почему их проушехлопили соответствующие службы мониторинга за ядерными испытаниями. Или все-таки осенний выброс рутения-106 в атмосфере как-то связан с этими испытаниями? Т.е. челябинцев не только присыпали рутением, но еще и поджарили? А куда упала эта ракета можно узнать? Проще говоря, где расколотили ядерный реактор? На каком полигоне? На Новой Земле? ************************************************************ А теперь немного почитаем про ядерные ракетные двигатели, хотя это совсем другая история Я́дерный раке́тный дви́гатель (ЯРД) - разновидность ракетного двигателя, которая использует энергию деления или синтеза ядер для создания реактивной тяги. Бывают жидкостными (нагрев жидкого рабочего тела в нагревательной камере от ядерного реактора и вывод газа через сопло) и импульсно-взрывными (ядерные взрывы малой мощности при равном промежутке времени). Традиционный ЯРД в целом представляет собой конструкцию из нагревательной камеры с ядерным реактором как источником тепла, системы подачи рабочего тела и сопла. Рабочее тело (как правило - водород) подаётся из бака в активную зону реактора, где, проходя через нагретые реакцией ядерного распада каналы, разогревается до высоких температур и затем выбрасывается через сопло, создавая реактивную тягу. Существуют различные конструкции ЯРД: твёрдофазный, жидкофазный и газофазный - соответствующие агрегатному состоянию ядерного топлива в активной зоне реактора - твёрдое, расплав или высокотемпературный газ (либо даже плазма). Ист. https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=1822546 Ист. https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=1822546 РД-0410 (Индекс ГРАУ - 11Б91, известен также как «Иргит» и «ИР-100») - первый и единственный советский ядерный ракетный двигатель 1947-78 гг. Был разработан в конструкторском бюро «Химавтоматика», Воронеж. В РД-0410 был применён гетерогенный реактор на тепловых нейтронах. Конструкция включала в себя 37 тепловыделяющих сборок, покрытых теплоизоляцией, отделявшей их от замедлителя. Проектом предусматривалось, что поток водорода вначале проходил через отражатель и замедлитель, поддерживая их температуру на уровне комнатной, а затем поступал в активную зону, где нагревался при этом до 3100 К. На стенде отражатель и замедлитель охлаждались отдельным потоком водорода. Реактор прошёл значительную серию испытаний, но ни разу не испытывался на полную длительность работы. Внереакторные узлы были отработаны полностью. ******************************** А это американский ядерный ракетный двигатель. Автор: NASA - Great Images in NASA Description, Общественное достояние, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=6462378 Автор: NASA - Great Images in NASA Description, Общественное достояние, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=6462378 NERVA (англ. Nuclear Engine for Rocket Vehicle Application) - совместная программа Комиссии по атомной энергии США и НАСА по созданию ядерного ракетного двигателя (ЯРД), продолжавшаяся до 1972 года. NERVA продемонстрировал, что ЯРД вполне работоспособен и подходит для исследования космоса, и в конце 1968 года SNPO подтвердил, что новейшая модификация NERVA, NRX/XE, отвечает требованиям для пилотируемого полета на Марс. Хотя двигатели NERVA были построены и испытаны в максимально возможной степени и считались готовыми к установке на космический аппарат, бо́льшая часть американской космической программы была отменена администрацией президента Никсона. NERVA была оценена AEC, SNPO и НАСА как высокоуспешная программа, достигшая или даже превысившая свои цели. Главная цель программы заключалась в «создании технической базы для систем ядерных ракетных двигателей, которые будут использоваться в разработке и развитии двигательных установок для космических миссий». Практически все космические проекты, использующие ЯРД, основаны на конструкциях NERVA NRX или Pewee. Марсианские миссии стали причиной упадка NERVA. Члены Конгресса из обеих политических партий решили, что пилотируемый полет на Марс будет молчаливым обязательством для Соединенных Штатов в течение десятилетий поддерживать дорогостоящую космическую гонку. Ежегодно программа RIFT задерживалась и цели NERVA усложнялись. В конце концов, хотя двигатель NERVA прошёл много успешных испытаний и имел мощную поддержку Конгресса, он никогда не покидал Землю. В ноябре 2017 года Китайская корпорация аэрокосмической науки и техники (China Aerospace Science and Technology Corporation, CASC) опубликовала дорожную карту развития космической программы КНР на период 2017-2045 годы. Она предусматривает, в частности, создание многоразового корабля, работающего на ядерном ракетном двигателе. В феврале 2018 года появились сообщения о том, что НАСА возобновляет научно-исследовательские работы по ядерному ракетному двигателю.

Подсказка

Без учета сопротивления время подъема шарика равно времени падения.

Ответ

H = 720 см.

3.2 . Камень брошен вертикально вверх со скоростью 50 м/с . Через сколько секунд его скорость будет равна 30 м/с и направлена вертикально вниз?

Подсказка

Запишите уравнение скорости.

Ответ

3.3 . С башни высотой 15 м вертикально вверх брошено тело со скоростью 10 м/с . Через сколько секунд оно упадет на землю?

Подсказка

Запишите уравнение высоты и решайте его относительно искомого времени (квадратное уравнение).

Ответ

3.4 . С какой высоты падало тело, если в последнюю секунду падения оно прошло путь 45 м ?

Подсказка Ответ

Решение

3.5 . Тело бросают вертикально вверх. Наблюдатель заметил, что на высоте 75 м тело побывало дважды, с интервалом времени 2 c . Найдите начальную скорость тела.

Подсказка

Если разделить интервал на два равных временных промежутка, то можно узнать высоту максимального подъема.

Ответ

V = 40 м/с.

3.6 . Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 4 м/с . Когда оно достигло высшей точки траектории, из той же точки, из которой оно было брошено, с той же начальной скоростью вертикально вверх брошено второе тело. На каком расстоянии (в см ) от начальной точки тела встретятся?

Подсказка

Найдите максимальную высоту подъема тела и для этого момента времени запишите уравнения движения обоих тел. В момент встречи координаты тел совпадают.

Ответ

3.7 . Двигатели ракеты, запущенной вертикально вверх с поверхности земли, работали в течение 10 c и сообщали ракете постоянное ускорение 30 м/с 2 . Какой максимальной высоты (в км ) над поверхностью земли достигнет ракета после выключения двигателей?

Подсказка

На первом этапе ракета двигалась равноускоренно, достигнув в конце разгона скорости v, после этого, движение ракеты равнозамедленное, считайте g = const.

Ответ

3.8 . В течение 20 c ракета поднимается с постоянным ускорением 0,8g , после чего двигатели ракеты выключаются. Через какое время после этого ракета упадет на землю?

Подсказка

Найдите максимальную высоту подъема ракеты.

Ответ

3.9 . С высоты 12 м над землей без начальной скорости падает тело. На какой высоте окажется тело через 1 c после начала падения.

Подсказка

Запишите уравнение высоты.

Ответ

3.10 . Определите, на сколько метров путь, пройденный свободно падающим телом в десятую секунду, больше пути, пройденного телом в предыдущую секунду. Начальная скорость тела равна нулю.

Подсказка

Путь в десятую секунду и путь за десять секунд разные понятия.

Ответ

3.11 . С какой скоростью надо бросить тело вертикально вверх с поверхности земли, чтобы время от момента броска до момента падения на землю равнялось 3 с ?

Подсказка

Запишите уравнение скорости.

Ответ

V = 15 м/с.

3.12 . Тело брошено вертикально вверх с поверхности земли со скоростью 20 м/с . На какую максимальную высоту оно поднимется?

Подсказка

В точке максимального подъема мгновенная скорость равна нулю.

Ответ

3.13 . Два тела брошены с земли вертикально вверх. Начальная скорость первого тела в четыре раза больше начальной скорости второго. Во сколько раз выше поднимется первое тело, чем второе?

Подсказка

Воспользуйтесь формулой связи высоты со скоростью.

Ответ

3.14 . В некоторый момент времени скорость свободно падающего тела равна 6 м/с . Какой будет скорость тела через 2 с ?

Подсказка

Ответ

V = 26 м/с.

3.15 . Мяч брошен с некоторой высоты вертикально вниз со скоростью 4 м/с . Найдите среднюю скорость движения мяча за первые две секунды движения.

Подсказка

Найдите скорость мяча через 2 с движения. Определите среднюю скорость.

Ответ

V = 14 м/с.

3.16 . Вертикально вниз брошен камень со скоростью 2 м/с . Во сколько раз увеличится скорость камня через 1 c после броска?

Подсказка

Запишите уравнение скорости тела.

Ответ

3.17 . Скорость тела, брошенного вертикально вниз, увеличилась через одну секунду в 6 раз . Во сколько раз увеличится его скорость по сравнению с начальной через две секунды после броска?

Подсказка

Запишите уравнение скорости тела.

Ответ

3.18 . С какой скоростью тело было брошено вертикально вверх, если через время 0,8 c после броска его скорость при подъеме уменьшилась вдвое?

Подсказка

Решайте задачу через уравнение скорости.

Ответ

V = 16 м/с.

3.19 . Металлический шарик, упавший с высоты 20 м на доску, отскакивает от нее с потерей 25 % скорости. Через сколько секунд после удара шарик второй раз упадет на доску?

Подсказка

Определите скорость в момент первого падения. Учтите, что скорость отскока будет (1 − 0,25)v. Далее, запишите уравнение скорости шарика.

Ответ

3.20 . Тело брошено вертикально вверх с высоты 40 м с начальной скоростью 5 м/с . На какой высоте окажется тело спустя 2 с ?

Подсказка

Запишите уравнение скорости тела.

Ответ

3.21 . Тело брошено вертикально вверх со скоростью 20 м/с . Найдите путь, пройденный телом за 3 c от начала движения.

Подсказка

Проверьте, достигнет ли тело за три секунды наибольшей высоты. Помните, что путь это расстояние пройденное телом.

Ответ

3.22 . Тело, брошенное вертикально вверх из точки, находящейся над землей на высоте 8 м , падает на землю через 2 c после броска. С какой скоростью брошено тело?

Подсказка

Запишите уравнение высоты.

Ответ

3.23 . С высоты 2,4 м вертикально вниз брошен мяч со скоростью 1 м/с . Чему будет равна его скорость в момент падения?

t = v 2L + v 1+ v 2L − v 1.

2. Преобразуем полученное уравнение следующим образом:

L(v2 − v1

V 2 +v 1 )

2Lv2

− v )

− v 2

3. Разрешим последнее уравнение относительно искомой скорости v1 :

108. Два спортсмена тренируются на беговой дорожке длиной L = 400 м. Первый бегун проходит круг за t1 = 50 c, а второй − за t2 = 60 c. Сколько раз спортсмены встретятся при забеге на L0 = 4 км при одновременном старте и беге в одном направлении.

Определим скорости бега спортсменов:

v 1=

v 2=

Найдём время пробега заданной дистанции L0 :

t 1=

500c;

t 2=

597c.

Разница времени прохождения заданной дистанции:

t = t2 − t1 = 97c.

Расстояния, пробегаемые спортсменами за время t:

s1 = v1 t= 776м;

s 2= v 2

t = 650м.

Разность проходимых дистанций:

s = s1 − s2 = 126м

6. Поскольку s < L, то первый спортсмен обгонит второго на заданной дистанции только один раз.

109. За легковым автомобилем, движущимся по трассе со скоростью v1 = 54 км/час, на расстоянии s1 = 20 пристроился автобус, несущийся со скоростью v2 = 90 км/час. С каким минимальным ускорением легковушка должна пойти в отрыв, чтобы интервал между бамперами машин оставался не менее s2 = 5 м? Считать движение автобуса равномерным, а легкового автомобиля − равноускоренным.

1. Запишем уравнения движения

легкового автомобиля с учётом не-

обходимости сохранения расстояния

Рис. 109. Экстренный разгон

v1 = v2 − at1 ;

(s− s

)= (v

− v) t

a1 t1 2

2. Выразим из уравнения скорости время t1

t 1=

v 2− v 1

и подставим это значение в уравнение пути

(s 1− s 2) = (v 2− v 1)

(v 2− v 1)

(v 2− v 1) 2

a1 2

2a 1(s 1− s 2) = (v 2− v 1) 2 ,

(v 2− v 1) 2

(25− 15) 2

a 1=

2(s− s

2(20− 5)

110. Мимо поста доблестной ДПС пронёсся джип с постоянной скоростью v1 = 20 м/с. ровно через время t = 120 c от поста ДПС отправляется в том же направлении другой автомобиль, который в течение t1 = 25 с движется равноускоренно, а по достижении скорости v2 = 25 м/с продолжает движение с постоянной скоростью. На каком расстоянии, отсчитываемом от времени начала движения второго автомобиля, он нагонит первый автомобиль и сколько времени для этого потребуется?

Рис. 110. Схема движения

1. Автомобиль, движущийся всё время с постоянной скоростью v1 за время относительно времени старта второго автомобиля до места их встречи пройдёт расстояние

x 1= v 1(t B+ t ) .

2. Второй автомобиль, с двумя режимами движения до места встречи пройдёт расстояние

x 2 = v 2t B− a 2 2 t 12 .

3. Величину ускорения второго автомобиля, стартующего без начальной,

скорости определим из уравнения для скорости равноускоренного движения

v2 = a2 t1 ; a2

4. Подставим значение ускорения в уравнение движения второго автомоби-

x 2= v 2t B− v 2 2 t 1 .

5. Из условия равенства координат в момент времени tB , когда второй автомобиль догонит первый автомобиль, можно записать

v 2t B− v 2 2 t 1 = v 1(t B+ t ) ,

2v2 tB − v2 t1 = 2v1 tB + 2v1 t.

6. Решая последнее уравнение относительно tB , получим

t B=

2v1 t+ v2 t1

2 20 120 + 25 25

542c 9 мин.

− v )

2(25− 20)

7. Место встречи определится уравнением

x B = v1 (tB + t) = 20 662= 13,2км.

111. Аэростат поднимается с земли с ускорением а = 2 м/с 2 вертикально вверх без начальной скорости. Через t = 20 с после начала движения из него выпал предмет. На какой максимальной высоте побывал выпавший предмет?

1. Высота, на которой выпал предмет:

h1 = a 2 t 2 = 400м;

2. Выпавший предмет в момент отрыва от аэростата имеет начальную скорость:

v 0 = a t;

3. Время подъёма предмета в высшую точку своей траектории:

v = v0

− g τ; v =0; τ =

3. Высота подъёма предмета в свободном полёте

gτ 2

80м;

4. Максимальная высота подъёма:

hmax = h1 + h2 = 480м;

112. В течение τ = 20 с ракета поднимается с постоянным ускорением а = 8 м/с2 , после чего двигатели выключаются. На какой максимальной высоте побывала ракета?

1. Скорость ракеты в момент выключения двигателей:

v 0 =a τ;

2. Высота подъёма ракеты на двигателях:

h1 = a τ 2 ; 2

Время движения ракеты с выключенными двигателями (по инерции):

v = v

− g τ; v =0; τ =

Высота подъёма ракеты после выключения двигателей:

gτ 2

Максимальная высота подъёма ракеты:

2880м;

h max= h 1+ h 2=

400 +

113. Из брандспойта, расположенного около поверхности земли, вырывается струя воды со скоростью v0 = 10 м/с. Брандспойт медленно вращается вокруг вертикальной оси. Одновременно с этим меняется угол его наклона к земле. Определить максимальную площадь, которую может оросить брандспойт.

1. Максимальная дальнобойность будет иметь место при угле наклона к горизонту α = 450

V2 sin 2α

r max0 g ;

2. Максимальная площадь орошения:

smax = π rmax 2 = 314м2 ;

114. Зная ускорение свободного падения на поверхности Земли (g ≈ 10 м/с2 ) и радиус планеты R ≈ 6400 км, определить среднюю плотность планеты.

4Gπ R3 ρ

mg = G

; g =

M = 3

π Rρ ;

πρ GR;

5,6 103 кг

4π GR

6,67 10− 11

6,4 106

115. Известно, что Солнце притягивает любую точку на поверхности Земли сильнее чем Луна. При этом явление приливов и отливов вызвано главным образом действием Луны, а не Солнца. Почему?

1. Причиной возникновения приливов и отливов является различные значения ускорения сообщаемые земному шару в целом и водным массам, находящимся на его поверхности.

Рис. 115. Приливы и отливы 2. Для земного шара сила гравитационного взаимодействия

определится уравнением:

F1 = GMm r 2 ;

3. Сила взаимодействия водного слоя нашей планеты с Луной:

F2 = G(r Mm − R ) 2 ;

4. Соответствующие нормальные (центростремительные) ускорения:

a n1= G

; an 2 = G

; an 2

− a n1=

GM(2rR− R2 )

(r− R) 2

r2 (r− R) 2

т.к. r >> R, то уравнение разности центростремительных ускорений можно упростить:

a n 2− a n1= 2R GM r 3 ;

5. Значение r для Луны составляет, примерно, r 60R, в то время как для Солнца − r 25000R. Величина r3 для Солнца будет больше, чем для Луны в 7,5 107 раз, в то время, как масса Солнца больше массы Луны всего в 2,7 107 раз. Другими словами действие Луны почти в три раза больше действия Солнца, отсюда и превалирование приливного действия именно Луны.

116. Ракета поднимает тело на высоту h = 5 105 м над поверхностью Земли. Каково ускорение свободного падения на этой высоте? С какой скоростью нужно бросить тело перпендикулярно земному радиусу, чтобы оно описало окружность вокруг Земли? Каков при этом период обращения тела?

1. Запишем уравнение для силы тяжести для тела массой m, поднятого на высоту h над поверхностью Земли

mg = G

g = G

(R+ h) 2

(R+ h) 2

g 6,7 10− 11

6 1024

4,9 1013

2. Чтобы тело описало круговую траекторию вокруг планеты и не свалилось не её

поверхность, нормальное ускорение этого Рис. 116. Искусственный спутник тела должно обеспечивать силу инерции,

компенсирующую силу притяжения

6,7 10− 11 6 1024

3 м

; vI =

(R+ h) 2

(R+ h)

R + h

7 106

3. Период обращения такого спутника

2π (R+ h)

6,28 7 106

5,8 103 c 1,6 часа;

7,6 103

117. По одной из гипотез геофизиков Земля состоит из железоникелевого ядра и каменной оболочки. Плотность ядра ρ0 ≈ 8 103 кг/м3 , плотность оболочки ρ1 ≈ 3 103 кг/м3 . Найти примерный радиус предполагаемого ядра.

1. Двухслойная модель строения Земли предполагает, что силу притяжения можно рассматривать в виде суммы притяжений ядра и оболочки:

G mM R 2 1 + GmM R 2 2 = Gm R 2 (M1 + M2 ) ,

или, полагая вес тела примерно равным силе притяжения, получим:

mg =

2. Выразим массы ядра и оболочки через их плотности и размеры:

M 14R 3 xρ 0; M 2= 4 ρ 1(R 3 − R 3 x) ,

(4 ρ

4 ρR 3

− 4 ρR 3 ) ;

−ρ R

3 = R 3

−ρ ) ;

gR2 − 4Gρ R3

Rx ; Rx

gR2 − 4Gρ R

4G (ρ −ρ)

4G (ρ −ρ)

10 4,1 1013 − 4 6,7 10− 11 2,6 1020

5,3 106 м;

4 6,7 10− 11 5 103

118. Какой высоты колокольню необходимо построить на экваторе Земли, чтобы тела на её вершине были невесомыми?

1. Как было показано ранее, вес тел на экваторе помимо прочего определяется величиной нормального ускорения, возникающего вследствие вращения Земли вокруг собственной оси. В рассматриваемом случае это обстоятельство можно выразить уравнением:

(R+ h) = mg

Рис. 118. Башня на экваторе

(R+ h) 2

ω 2 (R+ h) 3 = gR2 ; R+ h= 3

h = 3

gR2 T2

− R 3

10 4,1 1013 7,5 109

3,598 107 м 36000 км;

4π 2

119. Радиус земной орбиты при вращении вокруг Солнца составляет r ≈ 1,5 1011 м, радиус Солнца R ≈ 7 108 м. Определить по этим данным среднюю плотность Солнца.

1. Запишем уравнения для скорости и нормального ускорения Земли при её движении вокруг Солнца:

v = ω r=

2π r

4π 2 r

2. Выразим нормальное ускорение Земли через параметры Солнца:

Рис. 119. Солнце и Земля

4ρ R3

3. Совмещая уравнения для нормального ускорения, получим:

4π 2 r

4ρ R3

; 4π

4 ρGT

− 11

120. Спутник движется в околоземном пространстве по круговой орбите, радиус которой вдвое больше земного радиуса. Зная массу Земли М ≈ 6 1024 кг, найти период обращения спутника.

1. Условие нахождения спутника на круговой орбите

; v =

; ω 2R=

4π R

; T = 2π R

T = 6,28 6,4 106

12,8 106

7,2 103 c 2 часа.

6,7 10− 11 6 1024

121. На экваторе некой планеты тела весят в два раза меньше, чем на полюсах. Период собственного вращения равен Т. Определить величину средней плотности вещества планеты, считая её однородным шаром.

1. Вес тела на полюсах планеты обусловлен исключительно гравитационными эффектами

P0 = GmM R 2 ;

2. На экваторе планеты необходимо учитывать её вращение, которое приводит к появлению нормального ускорения и центробежной силы инерции

− ma

− m

4π 2

3. По условию задачи Р1 = Р0 /2, а масса планетыM 4 ρ R 3 , тогда

− m

4π 2

4π 2

4ρ R3

4π 2

; ρ =

2π 2

122. Зная расстояние от Земли до Солнца L ≈ 1,5 1011 м и параметры движения Земли, определить массу Солнца.

1. Условие нахождения Земли на круговой орбите

123. Определить массу груза, который нужно выбросить с аэростата, опускающегося равномерно вниз, чтобы он стал с такой же по модулю скоростью подниматься вверх. Общая масса аэростата и груза М = 1100 кг. Сила Архимеда, действующая на аэростат, равна FA = 10 кН. Сила сопротивления при подъёме и спуске одинакова.

Разность сил, действующих на аэростат:

F = Mg− FA > 0;

Условие безразличного равновесия аэростата:

F = g(M− m) ; m=

Mg − FA

Условие подъёма аэростата с прежней скоростью:

m = 2m

2(Mg− FA )

2 (1,1 10 4 − 1 10 4 ) = 200кг;

124. С вершины наклонной плоскости высотой h = 5 м, наклонённой под углом α = 450 к горизонту, начинает соскальзывать тело. Определить скорость тела в конце спуска, если коэффициент трения скольжения тела о плоскость равен μ = 0,19.

Протяжённость спуска:

cosα

Работа, производимая силой трения на спуске:

A = μ mg cosα l = μ mgh

Закон сохранения энергии:

Mgh−μ mgh= gh(1−μ ) ;

2gh(1−μ ) 9

125. Телу толчком сообщили скорость, направленную вверх вдоль наклонной плоскости. Найти величину ускорения тела, если высота наклонной плоскости h = 4 м, а её длина L = 5 м, коэффициент трения μ = 0,5.

1. Угол наклона плоскости к горизонту:

α = arccosL h 370 ;

2. Уравнение второго закона Ньютона на направление движения тела: ma = −μ mgcosα − mgsinα ; | a |= g(μ cosα + sinα ) = 10мс2 ;

126. С какой наибольшей скоростью может двигаться автомобиль на повороте радиусом R = 10 м, чтобы не возникло его заноса (проскальзывания), если коэффициент трения шин об асфальт равно μ = 0,8?

1. При проходе автомобилем поворота

радиуса R, возникает нормальное ускорение

a r n , направленное к оси вращения, проходя-

щей перпендикулярно плоскости через точ-

ку О. Сила инерции, имеющая противопо-

ложное a r n направление, появляется не как

результат взаимодействия тел, а как специ-

фика криволинейного движения. Это проис-

Рис. 126. Автомобиль на повороте

ходит вследствие изменения направления

вектора скорости, тем не менее, условие отсутствия движения юзом можно записать следующим образом:

= μ mg; v= μ gR 8,94

127. Байк движется без заноса по горизонтальному закруглению, отклонившись от вертикали на угол α = 23о . Оценить возможные значения коэффициента трения шин мотоцикла о поверхность дороги.

1. Если массу движущегося мотоцикла вместе с байкером обозначить как m, а радиус описываемой в горизонтальной плоскости криволинейной траектории как r, коэффициент трения шин − μ , то можно выделить следующие силы: силу тяжестиmg ,

нормальную реакцию связи N , силу тренияF R , которая в данном случае по модулю

должна быть равна фиктивной силе инерции

2. Так как

FR = μ mg,

Рис. 127. Движение байка

Fi = mv2 r.

то условие движения без заноса представится следующим образом

μmg =mv r 2 ;

3. Чтобы мотоцикл не упал, линия действия равнодействующей

Fs = N+ FR ,

должна проходить через центр масс мотоцикла, при этом

μ mg

0,4 .

tg α =

= μ;

μ ≥ tg23

128. Нить, перекинутая через блок с неподвижной осью, пропущена через щель. На концах нити подвешены грузы, масса которых m1 и m2 . Определите ускорения грузов и натяжение нити, если при движении нити на нее со стороны щели действует постоянная сила трения Ft .

1. Ввиду невесомости и не растяжимости нити, а так же, идеальных свойств блока (отсутствие потерь и малый вес) задачу можно решать в следующем приближении

a1 = a2 = a, T1 = T2 = T .

2. Уравнения движения грузов в проекции на вертикальную ось

в данном случае записываются следующим образом:

3. Совместное решение системы уравнений (2) даёт следующую величину ускорения

a = (m 1− m 2) g − F тр. m 1 + m 2

4. Подстановка ускорения в первое уравнение системы позволяет определить натяжение нити

T = m

2m2 g+ Fтр

m 1+ m 2

129. На вершине наклонной плоскости с углом наклона α = 300 установлен неподвижный идеальный блок, через который переброшена нить, к концам которой прикреплены грузы. Груз массой m1 = 5 кг скользит по гладкой наклонной плоскости, а другой груз, массой m2 = 3 кг движется по вертикали. Определить ускорение грузов.

Направление

движения

m2 g> m1 gsinα ,

следовательно, масса m2 будет

подниматься вверх по плоскости.

Уравнения ускоренного

Рис. 129. Движение грузов

движения грузов:

T − m gsinα = m a;

m2 g− T= m2 a;

3. Выражая из второго уравнения системы силу натяжения и подставляя это значение в первое уравнение, получим:

T = m2 g− m2 a;

m2 g− m2 a− m1 gsinα = m1 a;

g(m2 − m1 sinα )

− 2,5)

0,625

130. Определить угловую скорость конического маятника с нитью подвеса длиной L = 5 см, когда нить образует угол α = 600 с вертикалью.