Дифференциал является частью трансмиссии – системы, которая связывает мотор с ведущими колесами автомобиля. Этот механизм участвует в передаче вращательных усилий (крутящего момента) от двигателя к колесам, но главная его функция состоит в том, что он обеспечивает вращение колес при повороте авто с различной угловой скоростью.

В отсутствие дифференциала колеса автомобиля при прохождении поворота вращаются с одной и той же скоростью, что приводит к пробуксовке колеса, которое перемещается по большему внешнему диаметру поворотной дуги. Такой эффект крайне отрицательно сказывается на управляемости авто и приводит к быстрому износу покрышек.

В современном автомобилестроении используется три варианта размещения дифференциальной коробки в блоке трансмиссии:

• в авто с ведущими задними колесами (задним приводом) - в зоне задней оси;
• в машинах с передним приводом - непосредственно в самой коробке перемены передач;
• в полноприводных автомобилях (4WD) дифференциальное устройство может располагаться как в самой раздаточной коробке, так и в зонах обоих осей.

Устройство дифференциала

Базой конструкции дифференциального устройства является планетарный редуктор. В зависимости от того, какие зубчатые шестерни (передачи) используются для вращения колес, дифференциал делится на три разных вида:

• конический;
• цилиндрический;
• червячный.

Наибольшее распространение получила коническая зубчатая передача и, соответственно, конический дифференциал. Он традиционно монтируется между двух осей автомобилей с полным приводом, а не между колесами, как это возможно с иными видами.

Основные элементы конструкции одинаковы у всех типов дифференциалов, поэтому рассмотрим строение узла на примере конического механизма.

Дифференциальный механизм конического типа состоит из следующих элементов:

• планетарный редуктор;
• шестерни с сателлитами;
• корпус устройства.

На профессиональном сленге инженеров автомобилестроения и специалистов сервисных центров корпус дифференциального устройства называется «чашкой». Его основное назначение - принять вращательные усилия двигателя и передать их через сателлиты на шестерни. К поверхности чашки прикреплена ведомая шестерня ведущей передачи, а внутри чашки смонтированы оси, на которых перемещаются сателлиты. Собственно говоря, именно они и выполняют сцепление чашки (корпуса) и шестеренок. В легковых транспортных средствах традиционно применяется всего одна пара сателлитов, в грузовых - две, так как требуется передавать особенно высокий крутящий момент.

Получив энергию от сателлитов, шестерни начинают движение по оси и передают тот же крутящий момент без изменений на ведущую пару колес. В результате транспортное средство приходит в движение.

Шестерни, расположенные на осях, могут иметь равное или разное количество зубцов (шлицев). Если число зубцов равное, то шестерня образует симметричный дифференциал – крутящий момент распределяется по осям в равных соотношениях. Если же количество зубьев не равное, то происходит несимметричная раздача энергии на колеса, что обеспечивает повышенную проходимость в сложных дорожных условиях.

Функциональность дифференциального устройства

Симметричный дифференциал может функционировать в одном из трех доступных режимов.

Основной режим - это езда в направлении «прямо». В данном режиме колеса встречают одинаковую силу дорожного сопротивления и, соответственно, получают одинаковый крутящий момент.

При вхождении в поворот режим работы дифференциала изменяется. Даже незначительный поворот влево или вправо ведет к тому, что внутреннее колесо испытывает большее сопротивление, нежели внешнее. Чтобы сгладить этот дефект, внутренняя шестеренка замедляет свой ход и, тем самым, заставляет сателлиты двигаться в другом направлении, что увеличит амплитуду вращения наружной полуосевой шестерни. Из-за этого изменяется угловая скорость вращения двух ведущих колес, за счет чего осуществляется плавное вхождение в поворот

Третий режим в работе дифференциального устройства включается при езде по льду или иной скользящей поверхности. Одно из ведущих колес начинает испытывать сопротивление, а второе - нет. Дифференциал в таких случаях заставляет двигаться проскальзывающее колесо с максимальной скоростью, а на второе колесо подача крутящего момента приостанавливается. После прохождения препятствия требуется уравнять подачу энергии на колесную пару, для чего может потребоваться блокировка дифференциала.

Как отмечают специалисты в ГК Favorit Motors, сегодня крупные европейские и американские автопроизводители используют собственные разработки в области дифференциалов. Например, предлагаемые модели автомобилей Cadillac (система Controlled), Chevrolet (дифференциал Positraction) и Ford (механизмы Equa-Lock и Traction-Lok) применяют в трансмиссии исключительно свои модели распределяющих механизмов.

Виды современных дифференциалов

• Quaife (Квайф)

Это одно из самых конструктивно простых устройств, которое составлено из планетарного редукторного механизма (в плоском исполнении) и схемы со сдвоенными сателлитами, которые при работе сцепляются между собой. Используется косозубое сцепление, которое под большой нагрузкой выдает осевые мощности и передает их на пары сателлитов. Благодаря дополнительному вращению нужного ряда сателлитов при поворотах или пробуксовке на скользкой поверхности удается достигнуть торможения одного колеса и придать энергию другому.

Дифференциал Quaife подразумевает использование сразу пяти пар сателлитов для максимальной надежности сцепления косых зубьев между собой. Это, с одной стороны, позволяет эффективно использовать механизм в самых сложных дорожных условиях. А, с другой стороны, говорит о том, что со временем будет наблюдаться обширный износ всей конструкции в целом.

Тип дифференциального механизма Quaife был запатентован еще в 1965 году. Сегодня он преимущественно используется в гоночных или спортивных автомобилях, а также некоторых моделях переднеприводных машин.

• Torsen (Торсен)

Это довольно старый вид червячного дифференциального устройства, он был изобретен еще в 1950-х годах. На сегодняшний день автопроизводители используют 3 усовершенствованных разновидности дифференциала Torsen, однако все они имеют примерно одинаковый принцип работы. Шестерни, которые расположены на ведущих полуосях, образуют так называемую червячную пару с сателлитами. При этом, что существенно, на каждой полуоси располагаются свои сателлиты, которые парами сцепляются в некоторых положениях с сателлитами другой полуоси.

При движении вперед по прямой червячные пары находятся в остановленном положении, а при движении в повороте они проворачиваются. Очередной проворот по оси обеспечивает изменение угла колеса при поворотах и разворотах. Дифференциал Torsen считается самым мощным и износостойким, он работает при максимальной нагрузке и соотношениях крутящего момента.

• Механизм с дисковой блокировкой

Этот вид дифференциального устройства состоит из симметричного планетарного редукторного механизма, который закреплен на шестеренках конической формы. Шестерни имеют две маленькие муфты той же формы и два диска. Частично диски могут цепляться за саму чашку дифференциала, а частично - соприкасаться со сцеплением, которое работает при воздействии ведомой шестеренки.

Суть блокировки дифференциала заключается в том, что при возрастании механической силы на шестерни появляются вторичные осевые мощности. Дополнительные силы стремятся разъединить стыки между шестернями. В тот момент, когда им это удается, выравнивается скорость каждого из колес в связи с тем, что угловые скорости приобретают одно и то же значение.

Дифференциал с дисковой блокировкой появился еще в конце 1930-х годов, однако после значительной модернизации используется и сегодня - обычно на внедорожниках и спорткарах.

• Дифференциал кулачкового типа

Кулачковый дифференциал может иметь 2 варианта исполнения. Первый подразумевает расположение кулачковой муфты между двумя ведомыми шестеренками. В кулачковом механизме второго типа зубчатых колес нет в принципе – водилом здесь является сепараторное кольца, а функцию сателлитов выполняют «сухари» (специальные клинья). Ведомыми шестернями в этом случае являются кулачковые диски.

Принцип конструкции кулачкового дифференциала второго типа понятен из нижеприведенной схемы, где 1 – это корпус, 2 – обойма, 3 –сухарь, 4 и 5 – полуосевые звездочки. «Сухари» могут располагаться горизонтально (рисунок а) или радиально (рисунок б)

Суть блокировки дифференциального устройства заключается в том, что как только начинает наблюдаться разница между скоростными углами, кулачковая муфта (или кулачковые диски - во втором варианте исполнения) сразу же блокируют дифференциал.

Начальные разработки такого типа механизмов появились в 1940-х годах. В легковых транспортных средствах такой тип дифференциалов сегодня практически не используется. Основная сфера применения кулачкового типа - в военном автомобилестроении.

• Вискомуфта (вязкостная муфта)

Дифференциал конструктивно имеет на одной из ведущих полуосей емкость, наполненную вязкой жидкостью. В ней находятся 2 дисковых блока, первый из которых соединен с ротором, а второй - с другой полуосевой. Соответственно, чем больше будет разница в наборе скорости между колесами, тем больше будет становиться разница и в скорости движениях блоков дисков. Из-за вращения вязкость жидкости увеличивается.

Это самая простая и в то же время бюджетная конструкция дифференциального устройства. По оценкам специалистов ГК Favorit Motors устройство преимущественно устанавливается на городские паркетники, так как в условиях бездорожья вискомуфта не может обеспечить требуемую управляемость и проходимость.

Два типа принудительной блокировки дифференциала

В современных транспортных средствах используется как ручной, так электронный вариант блокировки дифференциала. У каждого из них есть свои преимущества. Ручная блокировка дифференциального механизма осуществляется непосредственно из салона авто. По команде водителя ступорятся вращающиеся шестерни и колеса начинают двигаться в одном темпе.

Такой тип применим перед преодолением разного рода дорожных препятствий в виде глубокого снега, грязи, ям или горок. После прохождения сложных участков можно проводить разблокировку. Традиционно ручная блокировка дифференциального устройства применяется на вездеходных транспортных средствах и внедорожниках.

Если автомобиль снабжен новой системой TRC, то автоматика сама производит электронную блокировку. В том случае, если одно из ведущих колес начинает буксовать, то оно будет слегка подтормаживаться тормозом авто. Удобство такого типа неоспоримо, однако не всегда блокировка будет включаться в нужный момент.

Вне зависимости от того, какой именно тип дифференциального устройства установлен на вашем автомобиле, специалисты ГК Favorit Motors могут предложить диагностику и обслуживание машины с учетом конструктивных особенностей механизма блокировки. Грамотный подход сочетается с опытностью мастеров, а стоимость профессиональных услуг считается одной из самых привлекательных по Москве.

Самые распространенные симптомы неисправности дифференциала – повышенная шумность, посторонний стук и удары, появление подтеков масла. Мастера автосервиса Favorit Motors отмечают, что важно незамедлительно обратиться в техцентр, чтобы устранить проблемы в работе устройства и избежать его дальнейшего разрушения. Какой бы сложной ни была неисправность, мастера сервисного центра Favorit Motors обладают всем необходимым диагностическим оборудованием и огромным опытом работы, что позволяет быстро и качественно устранить поломку. Сотрудники регулярно проходят переобучение в учебных центрах автопроизводителей, что позволяет им выполнять ремонтно-восстановительные работы любой сложности.

При движении автомобиля крутящий момент от передается и затем, через главную передачу и дифференциал, на ведущие колеса. позволяет увеличивать или уменьшать крутящий момент передаваемый и одновременно уменьшать и соответственно увеличивать скорость вращения колес. Передаточное число в главной передаче подбирается таким образом, что максимальный крутящий момент и частота вращения ведущих колес находятся в наиболее оптимальных значениях для конкретного автомобиля. Кроме того, главная передача очень часто является объектом тюнинга автомобиля.

Устройство главной передачи

По сути, главная передача - это не что иное, как шестеренчатый понижающий редуктор, в котором ведущая шестерня связана с вторичным валом КПП, а ведомая – с колесами автомобиля. По типу зубчатого соединения главные передачи различаются на следующие разновидности:

• цилиндрическая – в большинстве случаев применяется на автомобилях с поперечным расположением и коробки передач и передним приводом;
• коническая – применяется очень редко, так как имеет большие габариты и высокий уровень шума;
• гипоидная – наиболее востребованная разновидность главной передачи, которая применяется на большинстве автомобилей с классическим задним приводом. Гипоидная передача отличается малыми размерами и низким уровнем шума;
• червячная – практически не применяется на автомобилях по причине трудоемкости изготовления и высокой стоимости.

Также стоит отметить, что автомобили с передним и задним приводом имеют различное расположение главной передачи. В переднеприводных автомобилях с поперечным расположением КПП и силового агрегата, цилиндрическая главная передача располагается непосредственно в картере КПП .

В автомобилях с классическим задним приводом главная передача установлена в корпусе ведущего моста и соединена с коробкой передач посредством . В функционал гипоидной передачи заднеприводного автомобиля также входит и разворот вращения на 90 градусов за счет конических шестерен. Несмотря на различные типы и расположение, предназначение главной передачи остается неизменным.

Дифференциал автомобиля

Дифференциал автомобиля чаще всего совмещен с главной передачей и располагается соответственно в картере коробки передач или в корпусе заднего моста. Однако дифференциал может быть установлен и между ведущими осями полноприводного автомобиля. Дифференциал представляет собой и делится на следующие разновидности:

• конический – в большинстве случаев устанавливается совместно с главной передачей между колесами одной приводной оси;
• цилиндрический – наиболее часто применяется для развязки ведущих осей полноприводных автомобилей;
• червячный – является универсальным и устанавливается как между колесами, так и между ведущими осями.

Основное предназначение дифференциала заключается в распределении крутящего момента между колесами автомобиля и изменения их частоты вращении относительно друг друга. Так, например поворот автомобиля без дифференциала был бы попросту невозможен , так как при повороте внешнее колесо обязательно должно вращаться с большей частотой, нежели внутреннее.

Дифференциалы существуют симметричные и несимметричные. Симметричный дифференциал передает равный крутящий момент на оба колеса и устанавливается чаще всего совместно с главной передачей. Несимметричный дифференциал позволяет передать крутящий момент в различных пропорциях и устанавливается между .

Дифференциал состоит из корпуса, шестерен сателлитов и полуосевых шестерен. Корпус обычно совмещен с ведомой шестерней главной передачи. Шестерни сателлиты играют роль планетарного редуктора и соединяют полуосевые шестерни с корпусом дифференциала. Полуосевые (солнечные) шестерни соединены с ведущими колесами посредством полуосей на шлицевых соединениях.

При всех плюсах у простейшего дифференциала существует и недостаток . Дело в том, что частота вращения может быть распределена на колеса не только в соотношении, например 50/50, 40/60 или 35/65, но и 0/100. То есть, на одно колесо автомобиля может быть передан абсолютно весь крутящий момент, в то время как второе колесо будет абсолютно статично. Такое случается в том случае если автомобиль застрял в грязи или на льду.

Однако современные дифференциалы более совершенны и практически лишены данного недостатка. Многие дифференциалы имеют жесткую автоматическую или ручную блокировку. Кроме того современные легковые полноприводные автомобили снабжаются системой курсовой устойчивости, которая основана на оптимальном распределении крутящего момента между осями и отдельными колесами в зависимости от траектории движения.

Дифференциал как автомобильный механизм скоро отметит двухвековой юбилей, однако его конструкция за эти долгие годы хоть и совершенствовалась, но сохранила ключевые особенности. Что же такое дифференциал, и какую роль он выполняет в автомобиле?

1. Что такое дифференциал?

Д ифференциал в автомобиле – это механизм, который позволяет передавать мощность и, следовательно, вращение от коробки передач к колесам, разделяя поток этой мощности на два, для каждого из колес одной оси, с возможностью изменять соотношение передаваемой к ним мощности, и, следовательно, позволяя колесам вращаться с разной скоростью. Проще говоря, дифференциал разделяет 100% мощности, передаваемой коробкой передач, на два потока для каждого из колес на одной оси, и эти потоки могут перераспределяться в зависимости от условий движений от 50:50 до 100:0.

2. Для чего нужен дифференциал?

Основное предназначение дифференциала – обеспечить возможность вращения колес на одной оси с разной скоростью с сохранением неразрывного потока крутящего момента. Для автомобиля это важно прежде всего в поворотах: ведь при движении по дуге колеса на внешней стороне поворота проходят больший путь, чем колеса на внутренней, а значит, должны вращаться с большей скоростью для сохранения стабильности машины.

Если же колеса на оси будут соединены жестко, то внутреннее колесо в повороте будет пробуксовывать. Для заднеприводного автомобиля это повышает риск заноса, а для переднеприводного радикально ухудшает управляемость и контроль автомобиля в повороте. Таким образом, обеспечение свободного и независимого вращения колес на одной оси с сохранением постоянства передачи на них крутящего момента от двигателя было одной из принципиальных задач с момента создания автомобиля – и это задача была успешно решена.

3. Как устроен дифференциал?

Дифференциал являет собой частный случай планетарной передачи. Физически он обычно представляет собой набор из четырех шестерней, вращение к которым передается пятой – ведомой шестерней главной передачи, объединенной с корпусом дифференциала, выполняющим роль водила. Главная передача – это набор из двух шестерней: ведущая получает вращение от КПП и передает его ведомой. Ведомая же шестерня главной передачи передает вращение через корпус на шестерни-сателлиты, а они, в свою очередь, находятся в зацеплении с солнечными шестернями, жестко закрепленными на приводных полуосях колес.

Когда автомобиль движется по прямой, шестерни-сателлиты неподвижны, и скорость вращения шестерни главной передачи равна скоростям вращения солнечных шестерней: колеса вращаются с одинаковой скоростью. В повороте же шестерни-сателлиты начинают вращаться, обеспечивая разницу скоростей солнечных шестерней и, следовательно, колес на внешней и внутренней стороне поворота.

4. Каковы недостатки дифференциала?

Главным недостатком дифференциала одновременно является его главное преимущество – возможность передавать до 100% мощности на одно из колес. Исходя из этого, в условиях, когда одно колесо имеет недостаточное сцепление с поверхностью, основная часть мощности будет передаваться именно на него. Таким образом, порой даже имея одно колесо на поверхности с достаточным сцеплением, автомобиль не может тронуться с места.

Для устранения этой проблемы были разработаны разнообразные конструкции – дифференциалы с повышенным внутренним сопротивлением (так называемые самоблоки) и дифференциалы с принудительной блокировкой, ручной или автоматизированной. В зависимости от конструкции и назначения они могут как изменять перераспределение потока мощности в пользу колеса с хорошим сцеплением с поверхностью, так и полностью замыкать дифференциал, заставляя колеса на оси вращаться с одинаковой скоростью. Разные типы таких дифференциалов мы рассмотрим в отдельных материалах.

Являясь неразрывно связанными между собой, оба они уже несколько столетий активно используются при решении практически всех задач, которые возникали в процессе научно-технической деятельности человека.

Возникновение понятия о дифференциале

Впервые разъяснил, что такое дифференциал, один из создателей (наряду с Исааком Ньютоном) дифференциального исчисления знаменитый немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц. До этого математиками 17 ст. использовалось весьма нечеткое и расплывчатое представление о некоторой бесконечно малой «неделимой» части любой известной функции, представлявшей очень малую постоянную величину, но не равную нулю, меньше которой значения функции быть просто не могут. Отсюда был всего один шаг до введения представления о бесконечно малых приращениях аргументов функций и соответствующих им приращениях самих функций, выражаемых через производные последних. И этот шаг был сделан практически одновременно двумя вышеупомянутыми великими учеными.

Исходя из необходимости решения насущных практических задач механики, которые ставила перед наукой бурно развивающаяся промышленность и техника, Ньютон и Лейбниц создали общие способы нахождения скорости изменения функций (прежде всего применительно к механической скорости движения тела по известной траектории), что привело к введению таких понятий, как производная и дифференциал функции, а также нашли алгоритм решения обратной задачи, как по известной (переменной) скорости найти пройденный путь, что привело к появлению понятия интеграла.

В трудах Лейбница и Ньютона впервые появилось представление о том, что дифференциалы - это пропорциональные приращениям аргументов Δх основные части приращений функций Δу, которые могут быть с успехом применены для вычисления значений последних. Иначе говоря, ими было открыто, что приращение функции может быть в любой точке (внутри области ее определения) выражено через ее производную как Δу = y"(x) Δх + αΔх, где α Δх - остаточный член, стремящийся к нулю при Δх→0, гораздо быстрее, чем само Δх.

Согласно основоположникам матанализа, дифференциалы - это как раз и есть первые члены в выражениях приращений любых функций. Еще не обладая четко сформулированным понятием предела последовательностей, они интуитивно поняли, что величина дифференциала стремится к производной функции при Δх→0 - Δу/Δх→ y"(x).

В отличие от Ньютона, который был прежде всего физиком, и рассматривал математический аппарат как вспомогательный инструмент исследования физических задач, Лейбниц уделял большее внимание самому этому инструментарию, включая и систему наглядных и понятных обозначений математических величин. Именно он предложил общепринятые обозначения дифференциалов функции dy = y"(x)dx, аргумента dx и производной функции в виде их отношения y"(x) = dy/dx.

Современное определение

Что такое дифференциал с точки зрения современной математики? Он тесно связан с понятием приращения переменной величины. Если переменная y принимает сначала значение y = y 1 , а затем y = y 2 , то разность y 2 ─ y 1 называется приращением величины y.

Приращение может быть положительным. отрицательным и равным нулю. Слово «приращение» обозначается Δ, запись Δу (читается «дельта игрек») обозначает приращение величины y. так что Δу = y 2 ─ y 1 .

Если величину Δу произвольной функции y = f (x) возможно представить в виде Δу = A Δх + α, где у A нет зависимости от Δх, т. е. A = const при данном х, а слагаемое α при Δх→0 стремится к нему же еще быстрее, чем само Δх, тогда первый («главный») член, пропорциональный Δх, и является для y = f (x) дифференциалом, обозначаемымdy или df(x) (читается «дэ игрек», «дэ эф от икс»). Поэтому дифференциалы - это «главные» линейные относительно Δх составляющие приращений функций.

Механическое истолкование

Пусть s = f (t) - расстояние прямолинейно движущейся от начального положения (t - время пребывания в пути). Приращение Δs - это путь точки за интервал времени Δt, а дифференциал ds = f" (t) Δt - это путь, который точка прошла бы за то же время Δt, если бы она сохранила скорость f"(t), достигнутую к моменту t. При бесконечно малом Δt воображаемый путь ds отличается от истинного Δs на бесконечно малую величину, имеющую высший порядок относительно Δt. Если скорость в момент t не равна нулю, то ds дает приближенную величину малого смещения точки.

Геометрическая интерпретация

Пусть линия L является графиком y = f (x). Тогда Δ х= MQ, Δу = QM" (см. рисунок ниже). Касательная MN разбивает отрезок Δу на две части, QN и NM". Первая пропорциональна Δх и равна QN = MQ∙tg (угла QMN) = Δх f "(x), т. е QN есть дифференциал dy.

Вторая часть NM"дает разность Δу ─ dy, при Δх→0 длина NM" уменьшается еще быстрее, чем приращение аргумента, т.е у нее порядок малости выше, чем у Δх. В рассматриваемом случае, при f "(x) ≠ 0 (касательная не параллельна ОХ), отрезки QM"и QN эквивалентны; иными словами NM" уменьшается быстрее (порядок малости ее выше), чем полное приращение Δу = QM". Это видно на рисунке (с приближением M"к М отрезок NM"составляет все меньший процент отрезка QM").

Итак, графически дифференциал произвольной функции равен величине приращения ординаты ее касательной.

Производная и дифференциал

Коэффициент A в первом слагаемом выражения приращения функции равен величине ее производной f "(x). Таким образом, имеет место следующее соотношение - dy = f "(x)Δх, или же df (x) = f "(x)Δх.

Известно, что приращение независимого аргумента равно его дифференциалу Δх = dx. Соответственно, можно написать: f "(x) dx = dy.

Нахождение (иногда говорят, «решение») дифференциалов выполняется по тем же правилам, что и для производных. Перечень их приведен ниже.

Что более универсально: приращение аргумента или его дифференциал

Здесь необходимо сделать некоторые пояснения. Представление величиной f "(x)Δх дифференциала возможно при рассмотрении х в качестве аргумента. Но функция может быть сложной, в которой х может быть функцией некоторого аргумента t. Тогда представление дифференциала выражением f "(x)Δх, как правило, невозможно; кроме случая линейной зависимости х = at + b.

Что же касается формулы f "(x)dx= dy, то и в случае независимого аргумента х (тогда dx = Δх), и в случае параметрической зависимости х от t, она представляет дифференциал.

Например, выражение 2 x Δх представляет для y = x 2 ее дифференциал, когда х есть аргумент. Положим теперь х= t 2 и будем считать t аргументом. Тогда y = x 2 = t 4 .

Это выражение не пропорционально Δt и потому теперь 2xΔх не является дифференциалом. Его можно найти из уравнения y = x 2 = t 4 . Он оказывается равен dy=4t 3 Δt.

Если же взять выражение 2xdx, то оно представляет дифференциал y = x 2 при любом аргументе t. Действительно, при х= t 2 получим dx = 2tΔt.

Значит 2xdx = 2t 2 2tΔt = 4t 3 Δt, т. е. выражения дифференциалов, записанные через две разные переменные, совпали.

Замена приращений дифференциалами

Если f "(x) ≠ 0, то Δу и dy эквивалентны (при Δх→0); при f "(x) = 0 (что означает и dy = 0), они не эквивалентны.

Например, если y = x 2 , то Δу = (x + Δх) 2 ─ x 2 = 2xΔх + Δх 2 , а dy=2xΔх. Если х=3, то имеем Δу = 6Δх + Δх 2 и dy = 6Δх, которые эквивалентны вследствие Δх 2 →0, при х=0 величины Δу = Δх 2 и dy=0 не эквивалентны.

Этот факт, вместе с простой структурой дифференциала (т. е. линейности по отношению к Δх), часто используется в приближенных вычислениях, в предположении, что Δу ≈ dy для малых Δх. Найти дифференциал функции, как правило, легче, чем вычислить точное значение приращения.

Например, имеем металлический куб с ребром х=10,00 см. При нагревании ребро удлинилось на Δх = 0,001 см. Насколько увеличился объем V куба? Имеем V = х 2 , так что dV = 3x 2 Δх = 3∙10 2 ∙0/01 = 3 (см 3). Увеличение объема ΔV эквивалентно дифференциалу dV, так что ΔV = 3 см 3 . Полное вычисление дало бы ΔV =10,01 3 ─ 10 3 = 3,003001. Но в этом результате все цифры, кроме первой ненадежны; значит, все равно, нужно округлить его до 3 см 3 .

Очевидно, что такой подход является полезным, только если возможно оценить величину привносимой при этом ошибки.

Дифференциал функции: примеры

Попробуем найти дифференциал функции y = x 3 , не находя производной. Дадим аргументу приращение и определим Δу.

Δу = (Δх + x) 3 ─ x 3 = 3x 2 Δх + (3xΔх 2 + Δх 3).

Здесь коэффициент A= 3x 2 не зависит от Δх, так что первый член пропорционален Δх, другой же член 3xΔх 2 + Δх 3 при Δх→0 уменьшается быстрее, чем приращение аргумента. Стало быть, член 3x 2 Δх есть дифференциал y = x 3:

dy=3x 2 Δх=3x 2 dx или же d(x 3) = 3x 2 dx.

При этом d(x 3) / dx = 3x 2 .

Найдем теперь dy функции y = 1/x через ее производную. Тогда d(1/x) / dx = ─1/х 2 . Поэтому dy = ─ Δх/х 2 .

Дифференциалы основных алгебраических функций приведены ниже.

Приближенные вычисления с применением дифференциала

Вычислить функцию f (x), а также ее производную f "(x) при x=a часто нетрудно, а вот сделать то же самое в окрестности точки x=a бывает нелегко. Тогда на помощь приходит приближенное выражение

f(a + Δх) ≈ f "(a)Δх + f(a).

Оно дает приближенное значение функции при малых приращениях Δх через ее дифференциал f "(a)Δх.

Следовательно, данная формула дает приближенное выражение для функции в конечной точке некоторого участка длиной Δх в виде суммы ее значения в начальной точке этого участка (x=a) и дифференциала в той же начальной точке. Погрешность такого способа определения значения функции иллюстрирует рисунок ниже.

Однако известно и точное выражение значения функции для x=a+Δх, даваемое формулой конечных приращений (или, иначе, формулой Лагранжа)

f(a+ Δх) ≈ f "(ξ) Δх + f(a),

где точка x = a+ ξ находится на отрезке от x = a до x = a + Δх, хотя точное положение ее неизвестно. Точная формула позволяет оценивать погрешность приближенной формулы. Если же в формуле Лагранжа положить ξ = Δх /2, то хотя она и перестает быть точной, но дает, как правило, гораздо лучшее приближение, чем исходное выражение через дифференциал.

Оценка погрешности формул при помощи применения дифференциала

В принципе неточны, и привносят в данные измерений, соответствующие ошибки. Их характеризуют предельной или, короче, предельной погрешностью - положительным числом, заведомо превышающим эту ошибку по абсолютной величине (или в крайнем случае равным ей). Предельной называют частное от ее деления на абсолютное значение измеренной величины.

Пусть точная формула y= f (x) использована для вычисляения функции y, но значение x есть результат измерения и поэтому привносит в y ошибку. Тогда, чтобы найти предельную абсолютную погрешность │‌‌Δу│функции y, используют формулу

│‌‌Δу│≈│‌‌dy│=│ f "(x)││Δх│,

где │Δх│является предельной погрешностью аргумента. Величину │‌‌Δу│ следует округлить в сторону увеличения, т.к. неточной является сама замена вычисления приращения на вычисление дифференциала.

В конструкции современных автомобилей есть ряд узлов и агрегатов, которые являются обязательными для всех их марок, моделей, видов и типов. К таковым относятся, прежде всего, двигатель, коробка переключения передач, тормозная система. В этот же список входит и дифференциал.

Дифференциал есть в любой машине, причем в некоторых машинах этих узлов установлено несколько. О том, что такое дифференциал в автомобиле, какую роль он играет и каких разновидностей бывает, хорошо известно опытным автомобилистам. Тем же людям, которые являются пока только начинающими автолюбителями, наверняка будет полезно об этом узнать.

Конический дифференциал автомобиля: 1 – карданный вал; 2 – полуось ведущего колеса;

Дифференциал представляет собой механизм, с помощью которого к колесам одной оси, вращающимся с различной скоростью, транслируется одинаковый крутящий момент. Кроме того, дифференциал используется для того, чтобы поровну распределять крутящий момент и между несколькими ведущими осями.

В основу конструкции любого автомобильного дифференциала положен принцип работы планетарного редуктора. В зависимости от того, какой именно тип передачи вращательного движения используется, различают такие виды дифференциалов, как:

• Конический;
• Цилиндрический;
• Червячный.

Между колесами, установленными на одной и той же оси, практически всегда устанавливается конический дифференциал. Дифференциал цилиндрический используется обычно в качестве межосевого, а червячный отличается универсальностью своего применения. Наиболее широкое распространение получили дифференциалы конического типа, которые установлены практически на всех автомобилях в качестве межколесных. Все их основные элементы имеются также в цилиндрическом и червячном дифференциалах.

Корпус конического дифференциала (его часто именую чашей) от главной передачи принимает крутящий момент и транслирует его на шестерни полуосей посредством так называемых сателлитов. Они выполняют функции планетарных шестерен, а что касается их количества, то, в зависимости от особенностей конструкции конкретного конического дифференциала их может быть от двух до четырех.

Если автомобиль движется по прямолинейной траектории сопротивление каждого из колес дороге одинаковое. При этом вращения сателлитов не происходит, а вращение полуосевих шестерен осуществляется с равными угловыми скоростями. В момент поворота одно из колес, то, что находится на внутренней стороне поворота, встречает большее сопротивление дороги, вращение ее полуосевой шестерни становится медленнее, сателлиты начинают вращаться. В результате этого скорость вращения внешнего колеса возрастает, но крутящий момент остается таким же, как и на колесе внутреннем.

При движении по скользкой дороге, когда одно колесо пробуксовывает и движется с меньшей скоростью, ситуация аналогична ситуации с поворотом, в результате чего автомобиль зачастую просто не может сдвинуться с места. Чтобы крутящий момент на одном или другом колесе был выше, используется блокировка дифференциала.

Разновидности автомобильных дифференциалов

Помимо конического, цилиндрического и червячного, существуют и успешно используются следующие разновидности дифференциалов: дифференциал с полной блокировкой, дифференциал Торсен, дифференциал Квайф, вискомуфта.

Дифференциал с полной блокировкой

Дифференциалы этого типа чаще всего используются на грузовиках и внедорожниках. Их блокировка включается и отключается непосредственно из салона с помощью специальной клавиши водителем. Они используются для повышения проходимости автомобилей.

Дифференциалы Торсен

Конструкция дифференциалов Торсен была разработана немецкой компанией Siemens. По сути дела, они представляют собой комбинации конических и червячных дифференциалов. Дифференциалы Торсен отличаются высокой эффективностью, однако они достаточно сложны в изготовлении и обслуживании.

Дифференциалы Квайф

Отличительной особенностью дифференциалов этого типа является то, что сателлиты в них располагаются параллельно оси вращения корпуса (чаши), причем в два ряда. Кроме того, при функционировании этих агрегатов образуются силы трения, которые при необходимости автоматически осуществляют блокировку, повышают проходимость и силу тяги автомобиля. Чаще всего дифференциалы Квайф используются для тюнинга легковых автомобилей и внедорожников.

Вискомуфта

Функционирование этот типа дифференциала основано на том же принципе, что и работа гидротрансформатора. Чаще всего вискомуфты используются в автомобилях с полным приводом и используются для того, чтобы обеспечивать связь передних колес с задними по следующему принципу: если одни из них проскальзывают, то крутящий момент транслируется на другие, за счет чего и решается проблема пробуксовки. Конструктивно вискомуфта представляет собой цилиндр, в которой находится погруженный в вязкую жидкость пакет металлических дисков, имеющих перфорацию, и соединенных с валами (как ведущим, так и ведомым). В зависимости от температуры вязкость жидкости меняется, на чем и основывается принцип работы этого агрегата.

Применение дифференциалов, их преимущества и недостатки

В тех автомобилях, которые имеют всего одну ведущую ось, устанавливается один дифференциал. Транспортные средства с двумя и более ведущими осями оснащаются дифференциалами, устанавливаемыми в каждую из них. В автомобилях с повышенной проходимостью, имеющих две ведущих оси, устанавливается три дифференциала: по одному на каждую из осей и один - между ними. В тех же транспортных средствах, которые имеют более двух ведущих осей, используются так называемые межтележечные дифференциалы.