В этой главе мы вернёмся к одной из основных геометрических фигур - к окружности. Будут доказаны различные теоремы, связанные с окружностями, в том числе теоремы об окружностях, вписанных в треугольник, четырёхугольник, и окружностях, описанных около этих фигур. Кроме того, будут доказаны три утверждения о замечательных точках треугольника - точке пересечения биссектрис треугольника, точке пересечения его высот и точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Первые два утверждения были сформулированы ещё в 7 классе, и вот теперь мы сможем провести их доказательства.
Выясним, сколько общих точек могут иметь прямая и окружность в зависимости от их взаимного расположения. Ясно, что если прямая проходит через центр окружности, то она пересекает окружность в двух точках - концах диаметра, лежащего на этой прямой.
Пусть прямая р не проходит через центр О окружности радиуса г. Проведём перпендикуляр ОН к прямой р и обозначим буквой d длину этого перпендикуляра, т. е. расстояние от центра данной окружности до прямой (рис. 211).
Рис. 211
Исследуем взаимное расположение прямой и окружности в зависимости от соотношения между d и r. Возможны три случая.
1) d < r. На прямой р от точки Н отложим два отрезка НА и НВ, длины которых равны (рис. 211, а). По теореме Пифагора
Следовательно, точки А и В лежат на окружности и, значит, являются общими точками прямой р и данной окружности.
Докажем, что прямая р и данная окружность не имеют других общих точек. Предположим, что они имеют ещё одну общую точку С. Тогда медиана OD равнобедренного треугольника О АС, проведённая к основанию АС, является высотой этого треугольника, поэтому OD ⊥ р. Отрезки OD и ОН не совпадают, так как середина D отрезка АС не совпадает с точкой Н - серединой отрезка АВ. Мы получили, что из точки О проведены два перпендикуляра (отрезки ОН и OD) к прямой р, что невозможно.
Итак, если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности (d < r), то прямая и окружность имеют две общие точки . В этом случае прямая называется секущей по отношению к окружности.
2) d = r. В этом случае ОН = r, т. е. точка Н лежит на окружности и, значит, является общей точкой прямой и окружности (рис. 211,6). Прямая р и окружность не имеют других общих точек, так как для любой точки М прямой р, отличной от точки Н, ОМ > ОН = r (наклонная ОМ больше перпендикуляра ОН), и, следовательно, точка М не лежит на окружности.
Итак, если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку .
3) d > r. В этом случае ОН > г, поэтому для любой точки М прямой р ОМ ≥ ОН > r (рис. 211, в). Следовательно, точка М не лежит на окружности.
Итак, если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек .
Касательная к окружности
Мы доказали, что прямая и окружность могут иметь одну или две общие точки и могут не иметь ни одной общей точки.
Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности . На рисунке 212 прямая р - касательная к окружности с центром О, А - точка касания.
Докажем теорему о свойстве касательной к окружности.
Теорема
Доказательство
Пусть р - касательная к окружности с центром О, А - точка касания (см. рис. 212). Докажем, что касательная р перпендикулярна к радиусу ОА.
Рис. 212
Предположим, что это не так. Тогда радиус ОА является наклонной к прямой р. Так как перпендикуляр, проведённый из точки О к прямой р, меньше наклонной ОА, то расстояние от центра О окружности до прямой р меньше радиуса. Следовательно, прямая р и окружность имеют две общие точки. Но это противоречит условию: прямая р - касательная.
Таким образом, прямая р перпендикулярна к радиусу ОА. Теорема доказана.
Рассмотрим две касательные к окружности с центром О, проходящие через точку А и касающиеся окружности в точках В и С (рис. 213). Отрезки АВ и АС назовём отрезками касательных, проведёнными из точки А. Они обладают следующим свойством:
Рис. 213
Для доказательства этого утверждения обратимся к рисунку 213. По теореме о свойстве касательной углы 1 и 2 прямые, поэтому треугольники АВО и АСО прямоугольные. Они равны, так как имеют общую гипотенузу ОА и равные катеты ОВ и ОС. Следовательно, АВ = АС и ∠3 = ∠4, что и требовалось доказать.
Докажем теперь теорему, обратную теореме о свойстве касательной (признак касательной).
Теорема
Доказательство
Из условия теоремы следует, что данный радиус является перпендикуляром, проведённым из центра окружности к данной прямой. Поэтому расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, и, следовательно, прямая и окружность имеют только одну общую точку. Но это и означает, что данная прямая является касательной к окружности. Теорема доказана.
На этой теореме основано решение задач на построение касательной. Решим одну из таких задач.
Задача
Через данную точку А окружности с центром О провести касательную к этой окружности.
Решение
Проведём прямую О А, а затем построим прямую р, проходящую через точку А перпендикулярно к прямой О А. По признаку касательной прямая р является искомой касательной.
Задачи
631. Пусть d - расстояние от центра окружности радиуса r до прямой р. Каково взаимное расположение прямой р и окружности, если: а) r = 16 см, d = 12 см; б) r = 5 см, d = 4,2 см; в) r = 7,2 дм, (2 = 3,7 дм; г) r = 8 см, d= 1,2 дм; д) r = 5 см, d = 50 мм?
632. Расстояние от точки А до центра окружности меньше радиуса окружности. Докажите, что любая прямая, проходящая через точку А, является секущей по отношению к данной окружности.
633. Даны квадрат О АВС, сторона которого равна 6 см, и окружность с центром в точке О радиуса 5 см. Какие из прямых ОА, АВ, ВС и АС являются секущими по отношению к этой окружности?
634. Радиус ОМ окружности с центром О делит хорду АВ пополам. Докажите, что касательная, проведённая через точку М, параллельна хорде АВ.
635. Через точку А окружности проведены касательная и хорда, равная радиусу окружности. Найдите угол между ними.
636. Через концы хорды АВ, равной радиусу окружности, проведены две касательные, пересекающиеся в точке С. Найдите угол АС В.
637. Угол между диаметром АВ и хордой АС равен 30°. Через точку С проведена касательная, пересекающая прямую АВ в точке D. Докажите, что треугольник ACD равнобедренный.
638. Прямая АВ касается окружности с центром О радиуса r в точке В. Найдите АВ, если ОА = 2 см, а r = 1,5 см.
639. Прямая АВ касается окружности с центром О радиуса r в точке В. Найдите АВ, если ∠AOB = 60°, а r = 12 см.
640. Даны окружность с центром О радиуса 4,5 см и точка А. Через точку А проведены две касательные к окружности. Найдите угол между ними, если ОА = 9 см.
641. Отрезки АВ и АС являются отрезками касательных к окружности с центром О, проведёнными из точки А. Найдите угол ВАС, если середина отрезка АО лежит на окружности.
642. На рисунке 213 ОВ = 3см, СМ. = 6 см. Найдите АВ, АС, ∠3 и ∠4.
643. Прямые АВ и АС касаются окружности с центром О в точках В и С. Найдите ВС, если ∠OAB = 30°, АВ = 5 см.
644. Прямые МА и МВ касаются окружности с центром О в точках А и В. Точка С симметрична точке О относительно точки В. Докажите, что ∠AMC = 3∠BMC.
645. Из концов диаметра АВ данной окружности проведены перпендикуляры АА 1 и BB 1 к касательной, которая не перпендикулярна к диаметру АВ. Докажите, что точка касания является серединой отрезка A 1 B 1 .
646. В треугольнике АВС угол В прямой. Докажите, что: а) прямая ВС является касательной к окружности с центром А радиуса АВ; б) прямая АВ является касательной к окружности с центром С радиуса СВ; в) прямая АС не является касательной к окружностям с центром В и радиусами В А и ВС.
647. Отрезок АН - перпендикуляр, проведённый из точки А к прямой, проходящей через центр О окружности радиуса 3 см. Является ли прямая АН касательной к окружности, если: а) СМ. = 5 см, АН = 4 см; б) ∠HAO = 45°, CM = 4 см; в) ∠HAO = 30°, О А = 6 см?
648. Постройте касательную к окружности с центром О: а) параллельную данной прямой; б) перпендикулярную к данной прямой.
Ответы к задачам
Прямая (MN ), имеющая с окружностью только одну общую точку (A ), называется касательной к окружности .
Общая точка называется в этом случае точкой касания.
Возможность существования касательной , и притом проведенной через любую точку окружности , как точку касания, доказывается следующей теоремой .
Пусть требуется провести к окружности с центром O касательную через точку A . Для этого из точки A, как из центра, описываем дугу радиусом AO , а из точки O , как центра, пересекаем эту дугу в точках B и С раствором циркуля, равным диаметру данного круга.
Проведя затем хорды OB и OС , соединим точку A с точками D и E , в которых эти хорды пересекаются с данной окружностью. Прямые AD и AE - касательные к окружности O . Действительно, из построения видно, что треугольники AOB и AOС равнобедренные (AO = AB =AС ) с основаниями OB и OС , равными диаметру круга O .
Так как OD и OE - радиусы, то D - середина OB , а E - середина OС , значит AD и AE - медианы , проведенные к основаниям равнобедренных треугольников, и потому перпендикулярны к этим основаниям. Если же прямые DA и EA перпендикулярны к радиусам OD и OE , то они - касательные .
Следствие.
Две касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны и образуют равные углы с прямой, соединяющей эту точку с центром .
Так AD=AE и ∠OAD = ∠OAE потому, что прямоугольные треугольники AOD и AOE , имеющие общую гипотенузу AO и равные катеты OD и OE (как радиусы), равны. Заметим, что здесь под словом “касательная” подразумевается собственно “отрезок касательной ” от данной точки до точки касания.
Другой способ нахождения центра (напр., точеных изделий) – помощью особого инструмента, «центроиска-теля» – основан на свойствах так наз. касательных линий. К а с а т е л ь н о й к окружности называется всякая прямая линия, которая в точке встречи с окружностью перпендикулярна радиусу, проведенному к этой точке. Например, на черт. 174 прямые АВ, CD и EF – касательные к окружности АСЕ . Точки А, С, Е называются «точками касания». Особенность касательной, линии та, что она и м е е т с о к р у ж н о с т ь ю т о л ь к о о д н у о б щ у ю т о ч к у. Действительно, если бы у касательной AB (черт. 175) была с окружностью, кроме этой еще одна общая точка, напр., С , то, соединив ее с центром, мы получили бы равнобедренный треугольник СОА с двумя прямыми углами СА, а это, мы знаем, невозможно (почему?).
С линиями, касательными к окружности, мы встречаемся весьма часто в практической жизни. Веревка, перекинутая через блок, занимает в своих натянутых частях положение касательных прямых к окружности блока. Ремни талей (сочетания нескольких блоков, черт. 176) располагаются по линии общих касательных к окружности колес. Передаточные ремни шкивов тоже занимают положение общих касательных к окружностям шкивов «внешних» касательных в так наз. открытой передаче и «внутренних» – в закрытой.
Как через данную точку вне окружности провести к ней касательную? Другими словами: как через точку А (черт. 177) провести прямую АВ , чтобы угол АВО был прямой? Выполняется это следующим образом. Соединяют А с центром О (чертеж 178). Прямую делят пополам и вокруг середины ее В , как центра, описывают окружность радиусом ВО . Иначе говоря, на ОА строят круг, как на диаметре. Точки пересечения С и D обеих окружностей соединяют с А прямыми линиями: это и будут касательные.
Чтобы в этом убедиться, проведем из центра к точкам С и D вспомогательные прямые ОС и ОD . Углы ОСА и ODA – прямые, так как они вписаны в полуокружность. А это и значит, что ОС и OD – касательные к окружности.
Рассматривая наше построение, мы видим, между прочим, что из каждой точки вне окружности можно провести к ней д в е касательные. Нетрудно убедиться, что обе эти касательные о д и н а к о в о й д л и н ы, т. е., что AC = AD . Действительно, точка О одинаково удалена от сторон угла А ; значит ОА – равноделящая, и следовательно, треугольники ОАС и OAD равны (СУС ).
Попутно мы установили, что прямая, которая делит пополам угол между обеими касательными, проходит через центр круга. На этом основано устройство прибора для разыскания центра точеных изделий – ц е н т р о и с к а т е л я (черт. 179). Он состоит из двух линеек АВ и АС , укрепленных под углом, и третьей линейки BD , край которой BD делит пополам угол между краями
первых двух линеек. Прибор прикладывают к круглому изделию так, чтобы прилегающие к нему края линеек АВ и ВС соприкасались с окружностью изделия. Края будут при этом иметь с окружностью только по одной общей точке, поэтому край линейки должен, согласно сейчас указанному свойству касательных, пройти через центр круга. Прочертив на изделии по линейке диаметр круга, прикладывают центроискатель к изделию в другом положении и прочерчивают другой диаметр. Искомый центр окажется на пересечении обоих диаметров.
Если нужно провести общую касательную к двум окружностям, т. е. провести прямую линию, которая касалась бы одновременно двух окружностей, то поступают следующим образом. Около центра одной окружности, например, около В (черт. 180), описывают вспомогательную окружность радиусом, равным разности радиусов обеих окружностей. Затем из точки А проводят касательные АС и AD к этой вспомогательной окружности. Из точек А и В проводят прямые, перпендикулярные к АС и AD , до пересечения с данными окружностями в точках E, F, H и G . Прямые, соединяющие Е с F, G с H , будут общие касательные к данным окружностям, так как они перпендикулярны к радиусам AE, CF, AG и DH .
Кроме тех двух касательных, которые сейчас были проведены и которые называются в н е ш н и м и, возможно еще провести две другие касательные, расположенные так, как на черт. 181 (в н у т р е н н и е касательные). Чтобы выполнить это построение, описывают вокруг центра одной из данных окружностей – например, вокруг В – вспомогательную окружность радиусом, равным с у м м е радиусов обеих окружностей. Из точки А проводят к этой вспомогательной окружности касательные. Дальнейший ход построения читатели смогут найти сами.
Повторительные вопросы
Что называется касательной? Сколько общих точек у касательной и окружности? – Как провести касательную к окружности через точку, лежащую вне окружности? – Сколько можно провести таких касательных? – Что такое центроис-катель? – На чем основано его устройство? – Как провести общую касательную к двум окружностям? – Сколько таких касательных?
Государственное бюджетное образовательное учреждение
Гимназия № 000
Проектная работа по геометрии.
Восемь способов построения касательной к окружности.
9 биолого-химический класс
Научный руководитель : ,
заместитель директора по учебной работе,
преподаватель математики.
Москва 2012
Вступление
Глава 1. ………………………………………………………………4
Вывод (заключение)
Вступление
Высшее проявление духа – это разум.
Высшее проявление разума – это геометрия.
Клетка геометрии – треугольник. Он так же
неисчерпаем, как и вселенная. Окружность – душа геометрии.
Познайте окружность, и вы не только познаете душу
геометрии, но и возвысите душу свою.
Клавдий Птолемей
Задача.
Построить касательную к окружности с центром О и радиусом R, проходящую через точку А, лежащую вне окружности
Глава 1.
Построения касательной к окружности, не требующие обоснования, опирающегося на теорию параллельных прямых.
https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16 src=">АВО =90°. Для окружности (О; r) ОВ – радиус. ОВ АВ, следовательно, АВ – касательная по признаку касательной.
Аналогично, АС – касательная к окружности.
Построение № 1 основывается на факте, который гласит, что касательная окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
Для прямой имеется лишь одна точка касания с окружностью.
Через данную на прямой точку можно провести лишь одну перпендикулярную прямую.
Построение №2.
https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16"> АВО = 90°
5. ОВ – радиус, АВО = 90°, следовательно, АВ – касательная по признаку.
6. Аналогично в равнобедренном треугольнике AON АС – касательная (АСО = 90°, ОС – радиус)
7. Итак, АВ и АС – касательные
Построение № 3
https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16">ОРМ =ОВА= 90° (как соответствующие углы в равных треугольниках), следовательно, АВ – касательная по признаку касательной.
4. Аналогично, АС – касательная
Построение №4
https://pandia.ru/text/78/156/images/image008_9.jpg" align="left" width="330" height="743 src=">
Построение № 6.
Построение:
2. Проведу через точку А произвольную прямую, пересекающую окружность(О, r) в точках М и N.
6. АВ и ВС – искомые касательные.
Доказательство :
1. Т. к. треугольники PQN и PQM вписаны в окружность и сторона PQ является диаметром окружности, то эти треугольники прямоугольные.
2. В треугольнике PQL отрезки PM и QN – высоты, пересекающиеся в точке К, поэтому KL – третья высота..gif" width="17" height="16 src=">.gif" width="17" height="16 src=">AQS =AMS = 180° - https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16">PQN = β, то |AQ| = |AS|ctg β. Поэтому |PA| : |AQ| = ctg α: ctg β (2).
5. Сопоставляя (1) и (2) получу |PD| : |PA| = |DQ| : |AQ|, или
(|OD| + R)(|OA| - R)=(R -|OD|)(|OA| + R).
После раскрытия скобок и упрощений нахожу, что |OD|·|OA|=R².
5. Из соотношения |OD|·|OA|=R² следует, что |OD|:R=R: |OA|, то есть треугольники ODB и OBA подобны..gif" width="17" height="16">OBA=90°.Следовательно, прямая АВ – искомая касательная, что и требовалось доказать.
Построение № 6.
Построение:
1. Прострою окружность (A; |OA|).
2. Найду раствор циркуля, равный 2R, для чего выберу на окружности (О; R) точку S и отложу три дуги, содержащие по 60º: SP=PQ=QT=60°. Точки S и T диаметрально противоположны.
3. Строю окружность (О; ST), пересекающую w 1Что это за окружность? в точках М и N.
4. Теперь построю середину МО. Для этого строю окружности (O; OM) и (М; МО), а затем для точек М и О находим на них диаметрально противоположные точки U и V.
6. Наконец, построю окружность (К; КМ) и (L; LM), пересекающиеся в искомой точке В – середине МО.
Доказательство:
Треугольники КМВ и UMK равнобедренные и подобные. Поэтому из того, что КМ= 0,5МU, следует, что МВ=0,5МК=0,5R. Итак, точка В – искомая точка касания. Аналогично можно найти точку касания С.
Глава 3.
Построения касательной к окружности, основанные на свойствах секущих, биссектрис.
Построение № 7
https://pandia.ru/text/78/156/images/image011_7.jpg" align="left" width="440" height="514 src=">Построение № 8
Построение:
1. Построю окружность (А;АР), пресекающую прямую АР в точке D.
2. Построю окружность w на диаметре QD
3. Пересеку ее перпендикуляром к прямой АР в точке А и получу точки М и N.
Доказательство:
Очевидно, что АМ²=АN²=АD·AQ=AP·AQ. Тогда окружность (А;АМ) пересекает (О;R) в точках касания В и С. АВ и АС - искомые касательные.
Геометрические построения
Построение касательных к окружностям
Рассмотрим задачу, лежащую в основе решения других задач на проведение касательных к окружностям.
Пусть из точки А (рис. 1) необходимо провести касательные к окружности с центром в точке О .
Для точного построения касательных необходимо определить точки касания прямых к окружности. Для этого точку А следует соединить сточкой О и разделить отрезок ОА пополам. Из середины этого отрезка - точки С , как из центра, описать окружность, диаметр которой должен быть равен отрезку ОА . Точки К 1 и К 2 пересечения окружностей с центром в точке С и с центром в точке О являются точками касания прямых АК 1 и АК 2 к заданной окружности.
Правильность решения поставленной задачи подтверждается тем, что радиус окружности, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной к окружности. Углы ОК 1 А и ОК 2 А являются прямыми, поскольку опираются на диаметр АО окружности с центром в точке С .
Рис. 1.
При построении касательных к двум окружностям различают касательные внутренние и внешние . Если центра заданных окружностей располагаются по одну сторону от касательной, то ее считают внешней, а если центры окружностей находятся по разные стороны от касательной, - внутренние.
О 1 и О 2 R 1 и R 2 . Требуется провести внешние касательные к заданным окружностям.
Для точного построения следует определить точки касания прямых и заданных окружностей. Если радиусы окружностей с центрами О 1 и О 2 начать последовательно уменьшать на одно и то же значение, то можно получить ряд концентрических окружностей меньших диаметров. При этом в каждом случае уменьшения радиуса касательные к меньшим окружностям будут параллельны искомым. После уменьшения обоих радиусов на размер меньшего радиуса R 2 окружность с центром О 2 обратится в точку, а окружность с центром О 1 преобразится в концентрическую окружность радиусом R 3 , равным разности радиусов R 1 и R 2 .
Используя описанный ранее способ, из точки О 2 проведем внешние касательные к окружности радиусом R 3 , соединим точки О 1 и О 2 , разделим точкой С отрезок О 1 О 2 пополам и проведем радиусом СО 1 дугу, пересечение которой с заданной окружностью определит точки касания прямых О 2 К 1 и О 2 К 2 .
Точка А 1 и А 2 касания искомых прямых с большей окружностью располагается на продолжении прямых О 1 К 1 и О 1 К 2 . Точки В 1 и В 2 касания прямых с меньшей окружностью находятся на перпендикулярах с основанием О 2 соответственно к вспомогательным касательным О 2 К 1 и О 2 К 2 . Располагая точками касания можно провести искомые прямые А 1 В 1 и А 2 В 2 .
Рис. 2.
Пусть заданы две окружности с центрами в точках О 1 и О 2 (рис. 2), имеющие радиусы соответственно R 1 и R 2 . Требуется провести внутренние касательные к заданным окружностям.
Для определения точек касания прямых с окружностями используем рассуждения, аналогичные приведенным при решении предыдущей задачи. Если уменьшить радиус R 2 до нуля, то окружность с центром О 2 обратиться в точку. Однако в этом случае для сохранения параллельности вспомогательных касательных с искомыми радиус R 1 следует увеличить на размер R 2 и провести окружность радиусом R 3 , равным сумме радиусов R 1 и R 2 .
Из точки О 2 проведем касательные к окружности радиусом R 3 , для чего соединим точки О 1 и О 2 , разделим точкой С отрезок О 1 О 2 пополам и проведем дугу окружности с центром в точке С и радиусом СО 1 . Пересечение дуги с окружностью радиусом R 3 определит положение точек К 1 и К 2 касания вспомогательных прямых О 2 К 1 и О 2 К 2 .
Точка А 1 и А 2 R 1 находится на пересечении этой окружности с отрезком О 1 К 1 и О 1 К 2 . Для определения точек В1 и В2 касания искомых прямых с окружностью радиусом R 2 следует из точки О2 восставить перпендикуляры к вспомогательным прямым О2К1 и О2К2 до пересечения с заданной окружностью. Располагая точками касания искомых прямых и заданных окружностей, проведем прямые А1В1 и А2В2 .
Рис. 3.