(246 кб), который можно скачать и открыть на своем компьютере. Попробуйте решить все задачи самостоятельно и только потом сравнивать свои ответы с нашими. Желаем успехов!)

9.22. Какова должна быть наименьшая скорость мотоцикла, для того чтобы он мог ехать по внутренней поверхности кругового цилиндра радиусом R по горизонтальной окружности? Коэффициент трения скольжения между шинами мотоцикла и поверхностью цилиндра равен μ

9.23. Плоскость с углом наклона α w вокруг вертикальной оси. На наклонной плоскости лежит груз. Определить расстояние R между осью вращения и центром масс груза. Трением пренебречь. [смотрите ответ в общем файле]

9.24. Во сколько раз увеличится максимально допустимая скорость движения велосипедиста по наклонному треку с углом наклона α по сравнению с максимальной скоростью движения по горизонтальному треку при одинаковых радиусах кривизны траектории и коэффициентах трения μ ? [смотрите ответ в общем файле]

9.25. Плоскость с углом наклона α к горизонту вращается с угловой скоростью w вокруг вертикальной оси. На наклонной плоскости на расстоянии R от оси вращения лежит груз. При каком минимальном коэффициенте трения он не будет скользить по плоскости? [смотрите ответ в общем файле]

9.26. Полусферическая чаша радиусом R = 1 м w = 4,4 с −1 . В чаше лежит шарик, вращающийся вместе с ней. В каком месте чаши он находится? Место определить углом. [смотрите ответ в общем файле]

9.27. Чаша в форме полусферы радиусом R = 0,8 м вращается с постоянной угловой скоростью w вокруг вертикальной оси. Вместе с чашей вращается шарик, лежащий на ее внутренней поверхности. Расстояние от шарика до нижней точки чаши равно ее радиусу. Определить угловую скорость вращения чаши. [смотрите ответ в общем файле]

9.28. Нить маятника отклонена до горизонтального положения и отпущена. Какова должна быть минимальная прочность нити, чтобы она могла выдержать натяжение при прохождении маятником массой 1 кг положения равновесия? [смотрите ответ в общем файле]

9.29. Тело массой m = 0,1 кг вращается в вертикальной плоскости на нити длиной l = 1 м . Ось вращения расположена над полом на высоте H = 2 м . При прохождении нижнего положения нить обрывается и тело падает на пол на расстоянии L = 4 м (по горизонтали) от точки обрыва. Определить силу натяжения нити в момент ее обрыва. [смотрите ответ в общем файле]

9.30. Груз массой m , привязанный к нерастяжимой нити, вращается в вертикальной плоскости. Найти разность сил натяжения нити в нижней и верхней точках траектории. [смотрите ответ в общем файле]

9.31. Тело, подвешенное на нити длиной l , вращается в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через точку подвеса (конический маятник). Угловая скорость вращения равна w . Определить угол, который образует нить с осью вращения. [смотрите ответ в общем файле]

9.31. Шарику, подвешенному на нити, сообщили некоторую начальную скорость, после чего он стал вращаться по окружности в вертикальной плоскости. Определить массу шарика m , если известно, что сила натяжения нити в верхней точке траектории составила T 1 = 1 H , а в нижней точке траектории T 2 = 2 H . Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,8 м/с 2 . [смотрите ответ в общем файле]

9.32. Тяжелый шарик, подвешенный на нити l = 1 м , описывает окружность в горизонтальной плоскости (конический маятник). Найти период обращения шарика, если маятник находится в лифте, движущемся вниз с постоянным ускорением a = 5 м/с 2 . Нить составляет с вертикалью угол α = 60° . [смотрите ответ в общем файле]

9.33. Шарик массой m , подвешенный на нити длиной l , приведен во вращательное движение в горизонтальной плоскости. Какова должна быть прочность нити F , чтобы радиус R окружности, по которой движется шарик, стал равным? [смотрите ответ в общем файле]

9.34. Стержень длиной l = 1 м закреплен жестко под углом φ = 30° на вертикальной оси и вращается вместе с осью с угловой скоростью w = 10 c −1 . К нижнему концу стержня прикреплен шарик массой m = 1 кг . Найти силу, с которой стержень действует на шарик. [смотрите ответ в общем файле]

9.35. Круглая платформа вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью w . На платформе находится шарик массы m , прикрепленный к оси нитью. Угол наклона нити равен α , длина нити равна L . Определить натяжение нити в момент времени отрыва шарика от платформы. [ F = mw 2 L ]

9.36. Конус с углом раствора 2α вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью w . В конусе находится шарик массы m , прикрепленный с помощью нити к боковой поверхности конуса и вращающийся вместе с ним по окружности радиуса R . Найдите натяжение нити. [смотрите ответ в общем файле]

9.37. Груз массой m лежит на горизонтальном плоском столе, вращающемся с угловой скоростью w вокруг вертикальной оси, к которой он прикреплен с помощью невесомой пружины в недеформированном состоянии длиной l o и жесткостью k . Коэффициент трения между столом и грузом μ . Определить, на каком расстоянии может находиться груз от оси вращения. [смотрите ответ в общем файле]

9.38. Маленькое тело соскальзывает без начальной скорости по внутренней поверхности полусферы с высоты, равной ее радиусу. Одна половина полусферы абсолютно гладкая, а другая — шероховатая, причем на этой половине коэффициент трения между телом и поверхностью μ = 0,15 . Определить ускорение a тела в тот момент, как только оно перейдет на шероховатую поверхность. [смотрите ответ в общем файле]

9.39. Металлический стержень (рисунок слева), изогнутый под углом φ = 45° , как показано на рисунке, вращается с угловой скоростью w = 6 рад/с вокруг вертикальной оси OO". К концу стержня прикреплен груз массой m = 0,1 кг на расстоянии l = 0,1 м от точки O. Определить модуль силы F , с которой стержень действует на груз. Ускорение свободного падения g = 9,8 м/с 2 . [ 1.01 Н; смотрите формулу в общем файле]

9.40. Резиновый шнур длиной 0,8 м и массой 300 г имеет форму круглого кольца. Его положили на гладкую горизонтальную поверхность и раскрутили вокруг вертикальной оси так, что скорость каждого элемента кольца равна 3 м/с . Найдите удлинение (в см) шнура, если его жесткость 30 Н/м .

9.41. В цирковом аттракционе мотоциклист движется по внутренней поверхности сферы радиусом 8,5 м , оставаясь все время на 5,1 м выше центра сферы. При какой минимальной скорости это возможно? Коэффициент трения между колесами и поверхностью сферы 0,92 .

9.42. Цепочку длиной 1 м и массой 157 г замкнули в кольцо и надели сверху на гладкий круговой конус с вертикальной осью и углом полураствора 45° . Каким будет натяжение (в мН) цепочки, если конус привести во вращение так, чтобы каждый элемент цепочки имел скорость 2 м/с ?

9.43. Замкнутая цепочка массой 157 г надета «с натягом» на жесткий вертикальный цилиндр радиусом 5 см . Натяжение цепочки равно 3 H . До какой угловой скорости надо раскрутить цилиндр, чтобы цепочка соскользнула с него вниз? Коэффициент трения цепочки о цилиндр 0,1 .

Движение по горизонтальной дороге

Напомним, что ускорение тела, движущегося со скоростью v по окружности радиусом r, направлено к центру окружности (центростремительное ускорение). Модуль ускорения

Согласно второму закону Ньютона

где – равнодействующая всех приложенных к телу сил.

Пусть автомобиль совершает поворот на горизонтальной дороге, двигаясь равномерно по дуге окружности. На него действуют сила тяжести m и сила нормальной реакции (рис. 21.1). Но обе они направлены вертикально и поэтому не могут вызвать ускорения, направленного горизонтально. Это ускорение вызывает горизонтально направленная сила трения, действующая на автомобиль со стороны дороги.

Если колеса автомобиля не проскальзывают, то нижние точки колес покоятся относительно дороги. Следовательно, ускорение вызывает сила трения покоя тр.пок (рис. 21.1). (Эта сила возникает, когда вследствие поворота руля оси вращения передних колес поворачиваются. Причины появления этой силы можно объяснить, только рассматривая автомобиль не как материальную точку.)

1. Используя рисунок 21.1, объясните смысл следующих уравнений:

2. Чему равен радиус окружности r, по которой может равномерно двигаться автомобиль на горизонтальной дороге со скоростью v, если коэффициент трения между колесами и дорогой равен μ?
Подсказка. F тр.пок ≤ μN.

3. С какой наибольшей скоростью (в километрах в час) автомобиль может совершить поворот на перекрестке нешироких улиц, двигаясь по дуге окружности радиусом 10 м? Рассмотрите движение автомобиля по сухому асфальту и по льду.

Выполнив это задание, вы лучше поймете, почему водитель притормаживает перед поворотом, особенно на скользкой дороге.

Движение по наклонной дороге

Если полотно дороги наклонить в сторону поворота, то сила нормальной реакции опоры будет наклонена под углом к вертикали (рис. 21.2).

В таком случае появляется горизонтальная составляющая силы нормальной реакции, направленная в сторону поворота. Это позволяет увеличить скорость на повороте при тех же значениях радиуса поворота и коэффициента трения.

4. При каком угле наклона дороги автомобиль, который едет со скоростью v = 72 км/ч по дуге окружности радиусом r = 30 м, может совершить поворот даже на очень скользкой дороге?
Подсказка. В данном случае проекция силы нормальной реакции на ось x равна mg tg α.

5. Почему велотреки делают с наклоном внутрь (рис. 21.3)?

Гонки по вертикальной стене

Ехать по окружности можно и по вертикальной стене (рис. 21.4)! В таком случае центростремительное ускорение обеспечивает только сила нормальной реакции (рис. 21.5). (Автомобиль, который едет по вертикальной стене, не переворачивается потому, что на его нижние колеса стена давит с большей силой, чем на верхние.)

6. С какой скоростью (в километрах в час) можно ехать по вертикальной цилиндрической стене радиусом 5 м, если коэффициент трения μ между колесами и стеной равен 0,5?

2. Конический маятник

Подвешенный на нити груз, который равномерно движется по окружности в горизонтальной плоскости, называют коническим маятником (рис. 21.6).

На груз действуют сила тяжести m и сила натяжения нити , направленная вдоль нити. (Силу натяжения нити в данном случае неудобно обозначать , потому что буквой T обозначен период обращения груза по окружности.) Равнодействующая этих сил вызывает центростремительное ускорение груза.

Введем обозначения:
l - длина нити,
r - радиус окружности,
α - угол между нитью и вертикалью,
T - период обращения груза по окружности.

7. Используя рисунок 21.6, объясните смысл следующих уравнений:

Подсказка. Воспользуйтесь тем, что r = l cos α.

8. Чему равен период обращения конического маятника, если длина нити равна l?

9. Шарик массой 100 г, подвешенный на нити длиной 50 см, вращается по окружности в горизонтальной плоскости. При этом сила натяжения нити 2 Н.
а) Какой угол составляет нить с вертикалью?
б) Чему равен период обращения шарика по окружности?
в) Чему равен радиус окружности, по которой движется шарик?
г) С какой скоростью движется шарик?
д) Во сколько раз ускорение шарика больше ускорения свободного падения?
е) За какое время шарик пройдет путь, равный 1 км?

Движение по гладкой поверхности

Пусть небольшая шайба скользит по горизонтальной окружности внутри гладкой полусферы (рис. 21.7).

Главное в таких задачах – увидеть, что это видоизмененный конический маятник: роль силы натяжения нити играет сила нормальной реакции.

10. Шайба массой 50 г движется со скоростью 2 м/с по горизонтальной окружности радиусом 20 см внутри гладкой полусферы.
а) С каким ускорением движется шайба?
б) Под каким углом к вертикали направлена сила нормальной реакции, действующая на шайбу со стороны полусферы?
в) Чему равна сила нормального давлениям?
г) Чему равен радиус полусферы?
д) Чему равна частота обращения шайбы по окружности?

Рассмотрим также движение тела по внутренней поверхности конуса.

11. Шайба движется по горизонтальной окружности радиусом r по гладкой поверхности конуса (рис. 21.8, для наглядности конус разрезан). Образующая конуса составляет угол α с вертикалью. Чему равен период обращения шайбы?

Дополнительные вопросы и задания

12. На горизонтальном диске на расстоянии 10 см от оси лежит небольшая шайба массой 20 г. Диск начинают вращать вокруг его оси, медленно увеличивая частоту обращения. Когда частота становится равной 1 с-1, шайба начинает скользить по диску.
а) Каков коэффициент трения между шайбой и диском?
б) Чему равна сила трения, действующая на шайбу, при частоте обращения 0,5 с -1 ?
в) Начертите примерный график зависимости силы трения от частоты обращения диска.

13. Груз массой 100 г, подвешенный на пружине жесткостью 200 Н/м, вращают по окружности, лежащей в горизонтальной плоскости. Чему равна частота обращения, если длина пружины в 2 раза больше ее длины в недеформированном состоянии?

14. На стержне, укрепленном на расстоянии d от оси вращения горизонтального диска, на нити длиной l подвешен шарик (рис. 21.9). При вращении диска нить отклоняется от вертикали на угол α.
а) Каково ускорение шарика?
б) Каков период обращения диска?

Рассмотрим еще некоторые примеры равномерного движения по окружности. Укрепим несколько отвесов на диске электрофона (рис. 196). При неподвижном диске все отвесы висят вертикально, при вращающемся - отклоняются, причем это отклонение тем больше, чем дальше от центра расположен отвес. С увеличением угловой скорости вращения отклонения отвесов возрастают.

Рис. 196. На диск электрофона положена дощечка с укрепленными на ней отвесами. При вращении диска отвесы отклоняются наружу тем сильнее, чем больше скорость вращения и чем дальше от оси расположен отвес

Рис. 197. Силы, действующие на грузик отвеса, укрепленного на вращающемся диске

Не рассматривая, как возникает отклонение нити отвеса, найдем положение, которое займет нить при данной угловой скорости вращения (рис. 197). При равномерном вращении диска сила натяжения нити и сила тяжести , действующая на грузик, дают направленную горизонтально результирующую силу , которая сообщает грузику центростремительное ускорение. Заметим, что сила натяжения нити по модулю больше, чем она была бы в случае покоящегося диска, так как силу уравновешивает вертикальная составляющая силы .

Модуль силы равен произведению массы грузика на его центростремительное ускорение ( - угловая скорость диска): . Из рис. 197 следует, что

(122.1)

скорость и расстояние от оси; оно не зависит от массы грузика. Аналогичную картину - отклонение штанги, на которой висит конь со всадником,- можно наблюдать и на карусели. В этом случае формула (122.1) дает угол отклонения штанги.

Рис. 198. Модель центробежного регулятора Уатта

Рассмотренная картина поясняет также принцип действия так называемых центробежных регуляторов, применяемых для регулировки частоты вращения различных машин. Первый такой регулятор был построен Уаттом для регулировки частоты вращения паровой машины. При вращении вала регулятора (рис. 198) грузы 1, укрепленные на шарнирах, отклоняются и передвигают муфту 2, с которой они соединены тягами. Муфта соединена с заслонкой 3, регулирующей подачу пара в цилиндры паровой машины. Когда частота вращения машины возрастает выше нормальной, муфта опускается и уменьшает доступ пара в цилиндры. Наоборот, при уменьшении частоты вращения ниже нормы муфта поднимается и увеличивает доступ пара.

Динамика движения тела по окружности: выпуклый и вогнутый мост, «мертвая петля».

При равномерном движении тела по окружности используется формула,

Где u- скорость автомобиля; r- радиус кривизны.

Следует учесть, что в условиях нашего рельефа местности дороги имеют огромное количество подъемов и спусков, поворотов, а это ничто иное, как движение по части окружности.

Автомобиль, движущийся по выпуклому мосту легче того же автомобиля, неподвижно стоящего на том же мосту.

Действительно, движение по выпуклому мосту – это движение по части окружности. Поэтому автомобиль движется с центростремительным ускорением, равным по модулю:

Где u- скорость автомобиля; r- радиус кривизны.

В момент, когда автомобиль находится в высшей точке моста, это ускорение направлено по вертикали вниз. Оно сообщается автомобилю равнодействующей силы тяжести

И силы реакции моста.

Уравнение, выражающее второй закон Ньютона в векторной форме, запишется так:

Вес автомобиля (сила, с которой он давит на мост) по третьему закону Ньютона направлен противоположно силе реакции моста , а по модулю эти сил равны, следовательно,

Обратите внимание, что при некоторой минимальной скорости

, когда автомобиль потеряет опору, а значит и управление, - он взлетает!

Аналогично можно показать уменьшение веса пассажиров, едущих в автомобиле по выпуклому мосту.

Случай, когда кривизна моста направлена вниз, рассматривается аналогично.

Тогда вес транспортного средства можно найти так:

А еще встречаются случаи:

Конический маятник.

Конический маятник. В коническом маятнике (рис.61) тело маятника (небольшое по размерам тело) вращается в горизонтальной плоскости. Угол, образуемый нитью подвеса с вертикалью, проведенной через точку подвеса, остается неизменным. Вес маятника G можно разложить на две составляющие: центростремительную силу Z, направленную к центру круга, и силу Q, направленную вдоль нити:

Отсюда получаем:

Для малых углов конуса h ≈ l; тогда период колебаний конического маятника

Если спроектировать движение конического маятника на вертикальную плоскость, то тень маятника совершает гармоническое движение (рис.62). Закон

гармонического движения легко получить на основе кругового движения (рис. 63):

P = Z cos φ = Z (x: r) = k x, k = Z: r = const.

Гармоническое движение характеризуется тем, что сила, направленная к положению равновесия, пропорциональна удалению маятника от положения равновесия. В процессе колебаний происходит повторяющееся превращение потенциальной энергии в кинетическую и обратно. В точках поворота скорость равна нулю, в положении равновесия скорость максимальна.

Период гармонического колебания:

3. Плоский маятник. Математический маятник.

Колебания маятника, подвешенного на нити (рис.64), при малых углах отклонения (не превышающих 5º) можно считать гармоническими:

Тело на вращающемся диске .

На расстоянии R от оси горизонтально расположенного диска находится тело, коэффициент трения которого о диск равен k. Диск вращается с угловой скоростью ω.

На тело действуют три силы:

сила тяжести mg, сила реакции опоры N и сила трения Nтр.

В инерциальной системе отсчета, связанной с Землей, второй закон Ньютона будет иметь вид:

ma = mg + N + Fтр

Движение тела относительно Земли представляет собой движение в горизонтальной плоскости по окружности радиусом R. Силы, действующие на него в вертикальном направлении, скомпенсированы. Вектор ускорения лежит в горизонтальной плоскости, а само ускорение является центростремительным. Его величина определяется формулой:

Проецирование векторного уравнения на координатные оси X и Y дает два скалярных уравнения:

Первое уравнение показывает, что в роли центростремительной силы выступает сила трения, второе - констатирует, что вертикальные силы взаимно уравновешены.

Сила трения покоя подчиняется неравенству:

Поэтому при слишком больших скорости или радиусе вращения сила трения не сможет обеспечить требуемое центростремительное ускорение, и тело начнет соскальзывать.

Преобразуем неравенство:

Следовательно, условие отсутствия скольжения.