1 . Приведите примеры относительно каких тел покоится плот, плывущий по течению? Относительно каких тел движется?
2 . Может ли человек, находясь на движущемся эскалаторе метро, быть в покое в системе отсчета, связанной с землей?
3 . Почему нельзя применять паруса для управления полетом воздушного шара?
4 . Туристы плывут на плоту по реке, и один из них плавает вокруг плота. Изобразите траекторию движения пловца относительно:
а) наблюдателя на плоту,
б) наблюдателя, который находится на высоком обрыве около реки.
5 . Изобразите траекторию движения точки обода велосипедного колеса при прямолинейном движении велосипеда по дороге в системах отсчета, жестко связанных:
а) с велосипедистом;
б) с наблюдателем, стоящим сбоку.
6 . На рисунке 1 даны направления движения трех тел. Модули их скоростей относительно неподвижного наблюдателя соответственно равны: υ 1 = 5 м/с, υ 2 = 4 м/с, υ 3 = 2 м/с. Применяя закон сложения скоростей, определите скорости движения тел относительно:
а) первого тела;
б) третьего тела.
Соответствует ли полученный ответ вашей интуиции?
7 . На рисунке 2 даны направления движения трех тел. Модули скоростей первого и второго тела относительно неподвижного наблюдателя соответственно равны: υ 1 = 5 м/с, υ 2 = 4 м/с. Скорость третьего тела относительно второго по модулю равна υ 3 = 3 м/с. Определите скорость третьего тела относительно:
а) неподвижного наблюдателя;
б) первого тела.
8 . Скорость пловца относительно воды 1,2 м/с. Скорость течения 0,8 м/с. Определите скорость пловца относительно берега, если пловец плывет по течению реки.
9 . Скорость велосипедиста 36 км/ч, а скорость встречного ветра 4 м/с. Какова скорость ветра в системе отсчета, связанной с велосипедистом?
10 . Определите скорость ветра, если двигатель самолета сообщает ему в безветренную погоду скорость равную 900 км/ч, а при встречном ветре 850 км/ч.
11 . По дороге движутся автомобиль со скоростью 15 м/с и велосипедист со скоростью 5 м/с. Определите скорость их сближения, если:
а) автомобиль догоняет велосипедиста;
б) они движутся навстречу друг другу.
12 . Эскалатор метро движется со скоростью 0,75 м/с. Найдите время, за которое пассажир переместится на 20 м относительно земли, если он сам идет в направлении движения эскалатора со скоростью 0,25 м/с в системе отсчета, связанной с эскалатором.
13 . Два автомобиля движутся навстречу друг другу с равными скоростями по 80 км/ч каждая. За какое время расстояние между ними уменьшится на 10 км?
14 . По двум параллельным железнодорожным линиям равномерно движутся два поезда: грузовой длиной 630 м со скоростью 48 км/ч и пассажирский длиной 120 м со скоростью 102 км/ч. В течение какого времени пассажирский поезд проходит мимо машиниста грузового, если поезда движутся:
а) в одном направлении;
б) навстречу друг другу?
15 . Пассажир, сидящий у окна поезда, идущего со скоростью 72 км/ч, видит в течение 10 с встречный поезд. Длина встречного поезда 290 м. Определите его скорость.
16 . Скорость течения 3 м/с, а рыбак может грести со скоростью 5 м/с при неподвижной воде. Определите время, необходимое рыбаку, чтобы спуститься на 40 м вниз по течению и на столько же подняться вверх.
Уровень C
1 . Скорость движения теплохода относительно берега вниз по реке 20 км/ч, а вверх – 18 км/ч. Определите скорость течения относительно берега и скорость теплохода относительно воды.
2 . Автоколонна длиной 1,2 км движется со скоростью 36 км/ч. Мотоциклист выезжает из головы колонны, доезжает до ее хвоста и возвращается обратно. Определите время, за которое мотоциклист преодолеет данное расстояние, если его скорость равна 72 км/ч.
3 . Пловец, двигаясь относительно воды перпендикулярно течению со скоростью 5 км/ч, переплывает реку шириной 120 м. Скорость течения 3,24 км/ч. Определите:
а) скорость пловца относительно берега;
б) время, которое требуется пловцу, чтобы переплыть реку;
в) перемещение пловца относительно берега;
г) под каким углом к берегу плывет пловец?
4 . Вертолет летел в безветренную погоду на север со скоростью 20 м/с. С какой скоростью и под каким углом к первоначальному направлению будет лететь вертолет, если подует западный ветер со скоростью 10 м/с?
5 . На катере необходимо переплыть реку перпендикулярно берега. Какую скорость должен сообщить мотор катеру, чтобы при скорости течения реки, равной 1,2 м/с, катер двигался относительно берега со скоростью 3,2 м/с?
6 . Пловец желает переплыть реку перпендикулярно берега. Под каким углом к течению он должен плыть, если скорость пловца относительно воды 1 м/с, скорость течения 0,8 м/с?
7 . Скорость течения реки 4 км/ч, ширина ее 240 м. С какой скоростью относительно берега должен плыть пловец, чтобы переплыть реку за 15 мин, если его скорость относительно воды перпендикулярна берегу?
8 . По двум взаимно перпендикулярным дорогам движутся равномерно грузовая и легковая машины со скоростями 36 км/ч и 72 км/ч соответственно. На каком расстоянии окажутся друг от друга машины через 10 мин после встречи у перекрестка?
9 . В безветренную погоду вертолет двигался со скоростью 90 км/ч точно на север. Найдите скорость вертолета, если подул северо-западный ветер под углом 45° к направлению движения. Скорость ветра 10 м/с.
10 . Наблюдатель на берегу определил значение скорости пловца, переплывающего реку, 2,0 м/с. Скорость была направлена под углом 60° к линии берега. Какова скорость пловца относительно воды, если скорость течения реки 1,0 м/с?
11 . По двум пересекающимся под углом 60° дорогам движутся два автомобиля с одинаковыми скоростями, равными 72 км/ч. Через какое время после встречи у перекрестка расстояние между ними станет равным 3 км?
Камчатский государственный технический университет
А. Исаков
Решение задач ЕГЭ − 2013
Петропавловск-Камчатский
УДК 50(075.8)
Рецензент доктор физико-математических наук,
профессор Дальневосточного Федерального университета Стоценко Л.Г.
Исаков Александр Яковлевич
И85 Физика. Решение задач ЕГЭ − 2013. Часть 2.: КамчатГТУ, 2013.− 230 с.
Приведены решения задач части С, предлагаемых для подготовки к ЕГЭ по физике в 2013 г. Тексты задач соответствуют изданию О.Ф. Кабардин, С.И. Кабардина, В.А. Орлов, С.Б. Бобошина, О.И. Громцева «ЕГЭ 2013. Физика», Эк-
замен, М., 2013.
Сборник предназначен, прежде всего, для школьников старших классов, намеревающихся овладеть методиками решения задач в рамках современного ЕГЭ. Приведенные материалы могут быть так же полезными студентам первых курсов, изучающих общую физику в университетском объёме по техническим программам подготовки, в качестве повторительного материала. Особенно это относится к студентам заочной формы образования, когда программа осваивается самостоятельно и имеется перерыв в систематических занятиях предметом.
Механика................................................................................................... | ||
Молекулярная физика............................................................................ | ||
Термодинамика....................................................................................... | ||
Электричество и магнетизм................................................................... | ||
Колебания и волны............................................................................... | ||
Оптика.................................................................................................... | ||
Специальная теория относительности................................................ | ||
Квантовая физика.................................................................................. | ||
Варианты заданий части С................................................................... |
1. Механика
1. Задан график движения автобуса из пункта А в пункт В и обратно. Пункт
А находится в точке х = 0, а пункт В в точке х = 48 км. Чему равна скорость автобуса на пути из А в В?
1. Перемещение автобуса на за- |
||||
данном маршруте: | ||||
x = 48 км; |
||||
2. Время заданного перемещения: |
||||
t = 0,5 часа; |
||||
3. Средняя скорость перемеще- |
||||
Рис. 1. Скорость автобуса | x = 96 | км ; |
||
2. Пловец пересекает реку шириной H = 225 м. Скорость течения реки v1 = 1,2 м/с, скорость пловца относительно воды v2 = 1,5 м/с. Скорость пловца направлена перпендикулярно к вектору скорости течения. На какое расстояние будет снесён пловец к тому моменту, когда он достигнет противоположного берега?
Рис. 2. Заплыв через реку
Рис. 3. Время движения пловца
1. Из векторов заданных скоростей получим прямоугольный треугольник DKG, который будет подобен прямоугольному треугольнику АВС, с катетами H (ширина реки) и L (расстояние на которое снесёт течение пловца).
2. Составим пропорцию и определим величину сноса пловца:
180м; |
||||||||||
3. Наблюдатель с берега видит, что пловец пересекает реку шириной Н = 180 м перпендикулярно берегу. При этом скорость течения реки v2 = 1,2 м/с, а скорость пловца относительно воды v1 = 1,5 м/с. За какое время пловец пересечёт реку?
1. Чтобы пересекать реку по перпендикуляру к берегу пловец должен двигаться под углом α к линии кратчайшего расстоя-
ния между берегами.
2. Скорость пловца относительно берега определится из прямоугольного треугольника, построенного на векторах скоростей:
u vr 1 + vr 2 = v1 2 − v2 2 = 2,25− 1,44= 0,9м с ;
3. Время пересечения реки:
τ = H u =180 0,9 =200c;
4. Самолёт следует маршрутом Москва − Мурманск, следуя строго на се-
вер со скоростью v1 = 250 м/с относительно Земли строго на север. По всему пути следования дует западный ветер со скоростью v2 = 30 м/с относительно Земли. Определить скорость самолёта относительно воздуха.
1. Скорости самолета и ветра взаимно перпендикулярны:
v = v1 2 + v2 2 = 2502 + 302 = 251,8м с ;
5. Пассажир поезда, идущего со скоростью v 1 = 72 км/ч, видит грузовой поезд, движущийся в том же направлении, в течение τ = 26 с. С какой скоростью движется грузовой поезд, если его длина составляет L = 130 м? Скорость грузового поезда меньше, чем скорость пассажирского поезда.
1. Обозначим относительную скорость пассажирского поезда через v, то-
; v = | |||||||
2. Скорость грузового поезда:
v 2 = v1 − v= 20− 5= 15м с ;
6. В течение какого времени скорый поезд длиной Х 1 = 300 м, идущий со скоростью v1 = 54 км/ч, будет проходить мимо товарного встречного поезда длиной Х2 = 600 м, идущего со скоростью v2 = 36 км/ч?
1. Время прохождения пассажирского поезда мимо грузового:
36 c. |
|||||||
7. Координата тела изменяется с течение времени согласно уравнению: x(t) = 6 - 4t 2 + t;
Составить уравнение проекции перемещения тела.
1. Перемещением называется направленный отрезок (вектор), соединяющий начальное и конечное положение движущегося объекта в заданный промежуток времени.
2. Начальное положение тела определится из условия t = 0:
x(0) = 6 м.
3. Модуль проекции перемещения тела:
rx (t)= x(t)− x(0)= − 4t2 + t;
8. Чему равна проекция перемещения материальной точки за время τ = 2 с, прямолинейное движение которой описывается уравнением:
x(t) = 12 - 3t+ t2 ?
x(0) = 12м2 r (t)= x(t)− x(0)= − 3t+ t2 | r (τ )= − 6+ 4= − 2м; |
|
9. Координата тела изменяется с течением времени согласно уравнению: x(t) = 32 - 8t + 2t 2 ;
Определить модуль перемещения тела через τ = 3 с.
2t2 ; | |||
32м r (t)= x(t)− x(0)= − 8t+ | r (τ )= − 24+ 18= − 6м; |
||
10. Движение тела описывается уравнением: x(t) = 8 - 6t + 0,5t 2 ;
Определить проекцию скорости тела через τ = 3 с после начала движения.
1. Скорость тела рана первой производной по времени координат его движения:
vx (t)= dx | = −6 +t; | vx (τ )= − 6+ 3= − 3 | ||
11. Тело движется вдоль оси ОХ. проекция скорости меняется во времени согласно графику. Определить путь, пройденный телом за первые τ = 2 с движения.
1. Движение в заданном промежутке времени является равноускоренным:
2. Путь, пройденный телом за первые 2 с |
||||||
движения: | ||||||
Рис. 11. Скорость тела
12. Задана графическая зависимость скорости тела, движущегося вдоль оси ОХ от времени. Какое перемещение совершит тело к моменту времени τ = 5 с?
1. В течение двух первых секунд тело | |
двигалось в положительном направлении | |
оси ОХ, затем в течение секунды останови- | |
лось и начало двигаться в обратном на- | |
правлении, причём: | |
x 2,3= − x 3,4, | |
поэтому перемещение в течение первых 5 с | |
движения определится как: | |
r 0,5= r 0,2− r 4,5= 4 − 2 = 2м; | Рис. 12. Перемещение тела |
13. Задан график изменения координаты тела с течением времени. Как изменялась скорость тела в промежуток времени от 0 до 5 с?
1. Поскольку скорость опре- | |||
деляется в виде первой произ- | |||
водной координаты по времени, | |||
геометрическим смыслом кото- | |||
рой является касательная, то | |||
изменение тангенса угла накло- | Рис. 13. Координаты тела |
||
на касательной позволяет су- | |||
дить об изменении скорости | |||
v = lim | Tg α; |
||
t → 0 |
2. В данном случае угол наклона касательной со временем уменьшается, становясь при τ = 5 с равным нулю, т.е. к концу пятой секунды тело останавливается т.к. его координата далее не меняется. Следовательно, скорость на заданном промежутке времени уменьшается от некоторой величины до нуля.
14. Какой путь пройдёт свободно падающее тело за пятую секунду полёта при нулевом значении начальной скорости?
1. Скорость тела к концу четвёртой секунды полёта6
v 4 = gt4 10 4 40м с ;
2. Путь, проходимый телом, в течение пятой секунды движения:
s 5= v 4t 5+ | 40 1+ | 45м; |
||
15. За какую секунду свободного падения тело проходит путь s = 65 м, при старте из состояния покоя?
1. Скорость тела к началу искомой секунды:
v x = g(tx − 1);
2. Путь пройденный телом за искомую секунду движения:
s = v | Gt 2 x | −1 ) | Gt 2 ; s= | 3 gt 2 | − −gt | ; t2 | ||||||||||||||||
t2 x + 0,67tx − 43= 0; | 0,335 + | 0,11+ 43 6,9 c 7 c; | ||||||||||||||||||||
16. Пеликан охотится за рыбкой, падая свободно с высоты 25 м. Если у рыбки есть τ = 0,15 с времени, то она может уклониться от прожорливой птицы. На какой высоте над поверхностью воды рыбка должна заметить пеликана, если она плавает у поверхности?
1. Определим время падения пеликана до поверхности воды (точка В)
t2 − τ = 2,09c .
3. Найдём расстояние ОА, т.е. расстояние которое пролетит пеликан
4. Искомая безопасная для рыбки высота определится в виде разности y2 = y1 − y3 = 4,4м.
17. Сосулька падает без сопротивления с крыши дома, пролетая первую половину пути за время t1 = 1 c. Сколько времени ей осталось лететь до поверхности земли?
1. Определим путь, проделанный сосулькой за первую секунду падения
1 = 5м. |
||||
2. Высота, с которой падает сосулька, с учётом того |
||||
обстоятельства, что первую половину пути она пролетела |
||||
за время t1 | ||||
Рис. 18. Сосулька | y = y1 + y2 | 2y1 = 10м |
||
3. Определим время полного падения | ||||
2= 1,41c . |
||||
4. Время пролёта сосулькой второй половины пути определится в виде разности
t2 = t− t1 = 0,41c .
Как видно из полученного результата, вторая половина пути пролетается сосулькой быстрее первой за счёт того, что к концу первого участка сосулька приобретает скорость v1 = 10 м/с.
18. Определить линейную скорость вращения Земли вокруг соей оси, приняв радиус Земли R ≈ 6400 км.
1. Линейная скорость тела, вра- | ||||||||||||
щающегося вокруг неподвижной оси, | ||||||||||||
определяется | уравнением | Леонарда | ||||||||||
= ωR = | ||||||||||||
2. Период собственного вращения | ||||||||||||
T = 24 3600= 8,64 104 c; | Рис. 18. Линейная скорость |
|||||||||||
3. Линейная скорость экваториальных точек планеты: |
||||||||||||
465с ; |
||||||||||||
8,64 104 | ||||||||||||
19. Линейная скорость конца минутной стрелки Кремлёвских курантов vm = 6 мм/с. Определить длину минутной стрелки.
Линейная скорость тела, вращающегося | ||||||||||||
вокруг неподвижной оси, определяется уравне- | ||||||||||||
нием Леонарда Эйлера: | ||||||||||||
= ωR = | R; Rm | |||||||||||
Рис. 19. Кремлёвские куранты |
||||||||||||
Период обращения минутной стрелки | ||||||||||||
T = 3600c; | ||||||||||||
Линейная скорость экваториальных точек планеты: |
||||||||||||
R m= | 6 10− 3 3600 | 3,44м |
||||||||||
20. Точка равномерно движется по окружности радиусом r = 1,5 м с угловой скоростью ω = 3 рад/с. Определить линейную скорость стрелки.
vr = ω r= 4,5 мс;
a n=
(5v)2
a n 2
22. Во сколько раз увеличится нормальное (центростремительное) ускорение точек обода колеса, если период обращения колеса вокруг собственной оси вращения уменьшится в два раза?
a n1= | ||||||||||||||||||||
4 π | 4 π 2r; | a n 2 | ||||||||||||||||||
16π 2 | ||||||||||||||||||||
a n 2= | ||||||||||||||||||||
23. С башни высотой h = 80 м горизонтально брошен камень. Через какое время он упал на землю?
1. Плоское движение камня можно разложить на две составляющие: равномерное движение с начальной скоростью по горизонтальной оси и ускоренное движение с ускорением g по вертикальной оси:
x(t) = v | ||||||||||
y(t) = 0; h= | ; t = | |||||||||
y(t) = h− | ||||||||||
24. Глыбу льда сбрасывают с крыши с высоты h = 45 м со скоростью v0 = 3
м/с. На каком расстоянии от дома упадёт глыба? | |||||||
Время полёта глыбы до земли: | |||||||
gτ 2 | |||||||
Расстояние, на котором упадёт лёд от дома: | |||||||
x m =v 0 τ =v 0 | 2h = 3 | ||||||
25. Пуля вылетает из ствола в горизонтальном направлении со скоростью v0 = 800 м/с. На сколько снизится пуля во время полёта, если щит с мишенью расположен на расстоянии Х = 400 м от среза ствола?
1. Пловец, скорость которого относительно воды v 1 -5 км/ч, переплывает реку шириной l = 120 м, двигаясь перпендикулярно течению. Скорость течения v 2 = =3,24 км/ч. Каковы перемещение s и скорость v пловца относительно берега? Какое время t требуетси пловцу, чтобы нереплыть реку?
Решение. Относительно системы координат, связанной с водой, пловец движется со скоростью v 1 перпендикулярно течению. Его перемещение s 1 по модулю равно ширине реки 1: s 1 =l. Время t, затраченное пловцом, находим из равенства l=v 1 t .(замечательно, что это время от скорости течения не зависит!).
Относительно берега пловец движется иначе. Перемещение s пловца относительно берега складывается из его перемещения относительно воды s 1 и перемещения самой воды относительно берега: s = s 1 +s 2 - Мо
2. Пловец (см. задачу 1) намерен переплыть реку по кратчайшему пути (из А в В, рис. 36). Сколько ему потребуется для этого времени?
Решение. Модуль перемещения s пловца относительно берега равен ширине реки: s = l.
Согласно формуле (1) s = s 1 + s 2 , где S 1 - перемещение пловца относительно воды и S 2 - перемещение воды относительно берега. Соответствующий векторный треугольник показан на рисунке 36. На том же рисунке построен и треугольник скоростей. Из него видно, что модуль скорости пловца относительно берега получается из равенства
Из выражения для скорости v видно, что если скорость пловца относительно воды меньше скорости течения, то пловец переплыть реку по кратчайшему пути не сможет (число под корнем отрицательное!).
Упражнение 4
1. Двигатель самолета сообщает ему скорость относительно воздуха, равную 900 км/ч. С какой скоростью движется самолет относительно Земли при попутном ветре, скорость которого равна 50 км/ч; при таком же встречном ветре?
2. Автомобиль движется в западном направлении со скоростью 80 км/ч. Другой автомобиль движется ему навстречу с такой же скоростью. 8 некоторый момент расстояние между автомобилями равно 10 км. Сколько времени пройдет до момента встречи автомобилей?
3. Самолет, стартовав в Москве, держит по компасу курс на север, летя на высоте 8 км со скоростью 720 км/ч. Какими будут координаты самолета относительно аэропорта через 2 ч после старта, если во время полета дует западный ветер со скоростью 10 м/с?