Уже использовалась с целью показать, как работает широкая шина в повороте. Пусть полукруг в нижней части – это часть шины (ее поперечный срез), которая в точке Пк контактирует с дорожным полотном. Желтые кружки в верхней части – центры масс: Цм – мотоцикла, Цп – пилота, Цс – системы «пилот-мотоцикл». Пунктирная линия, проходящая через Цм и поперечный срез шины - линия вертикальной симметрии байка.

Все остальное я отдаю на откуп вашему воображению, пользуясь которым, вы можете вообразить, например, CBR600RR и симпатичную девушку в качестве ее пилота. Это может быть прекрасное утро и горный серпантин. Допустим, она только что обогнала вас и едет впереди, при этом дорога уходит вправо, и вы оба закладываете байки в правый поворот. Эх… скорей бы лето.
На Рис.1 изображены основные силы, которые при этом будут действовать на мотоциклы, изображены графически в виде векторов. При этом направление вектора указывает на направление действия силы, а его длина пропорциональна величине действующей силы.
Силы, сверху вниз:

Цб. – центробежная сила. Сила, которая пытается вас опрокинуть и вытолкать наружу поворота. Сила приложена к центру масс и направлена горизонтально влево.
Тж. – сила тяжести. Сила, с которой все, что так или иначе относится к планете Земля, притягивается по направлению к ее центру. Сила приложена к центру масс и направлена вертикально вниз.
Тж.+Цб. – результат совместного действия центробежной и силы тяжести. Геометрически представляет собой сумму векторов Тж. и Цб. Сила направлена в точку контакта шины с дорогой. Это является условием поддержания равновесия в повороте(далее станет яснее почему).

Если на этом остановится, то наша условная модель мотоцикла завертится в спираль и направится куда-то к центру планеты, т.к. перечисленные силы останутся ничем не скомпенсированы. В реальности же, покуда есть дорога под колесами, этого не произойдет. Наличие опоры рождает силы равные по величине и противоположные по направлению силам уже обозначенным:

Оп. – реакция опоры. Сила направлена вертикально вверх и равна по величине силе тяжести.
Тр. – сила трения. Рождается в паре с любой силой, которая пытается сдвинуть объект относительно поверхности, на которой он находится. В нашем случае работает в паре с центробежной силой.
Тр.+Оп. – результат совместного действия сил реакции опоры и трения. Сила равна по величине и противоположна по направлению силе Тж.+Цб.

Теперь, когда каждая сила работает в паре, система находится в равновесии. Для девушки-пилота Хонды и для вас, едущего за ней, подобное равновесие значит только одно - вы остаетесь стабильны на всем протяжении поворота.

Представим теперь, что вы проходите этот поворот впервые. И сначала девушка, а потом и вы вдруг понимаете, что его радиус уменьшается, но вы все еще не видите выхода. На Рис.1 , т.е. для текущей модели вашего движения, уменьшающийся радиус поворота будет означать рост центробежной силы. Красный вектор Цб отмеченный на рисунке моделирует эту ситуацию. При этом изменится и результирующий вектор Тж+Цб . Теперь он направлен не в пятно контакта, а в точку находящуюся снаружи от траектории движения. Это означает, что теперь сила Тж+Цб пытается опрокинуть байк с некоторым плечом L наружу поворота.

Понимая, что вас выталкивает наружу, вы можете попытаться рулением вернуть изменивший направление вектор Тж+Цб обратно в пятно контакта и следовать исходной траектории. Смотрим Рис.2. Для этого вам придется наклонить байк ниже и, в нашем случае, необходимый угол наклона составит 62 градуса (на рисунке отмечен угол относительно дороги в 28 градусов. 90-28=62 – угол относительно вертикали или угол наклона). В теории это возможно. На практике, угол наклона в 60 градусов будет предельным даже для «боевого» спортивного мотоцикла moto GP класса. Понимая это, и то что одно лишь руление в подобном случае подведет вас вплотную к пределу возможностей мотоцикла, ни девушка, ни вы, будучи в здравом уме, рисковать не намерены (ведь выхода из поворота еще не видно). Вы принимаете решение свесится с байка в сторону поворота.

На Рис.3 видно, что смещая свой центр тяжести (Цп) вниз, вы смещаете и общий с мотоциклом центр тяжести (Цс) вниз. Это позволяет вам не только вернуть вектор Тж.+Цп. в пятно контакта, но при этом сохранить относительно безопасный угол наклона мотоцикла.

Вот, собственно и все. Надеюсь, кому-то это поможет или натолкнет на интересные вопросы и более подробное изучение темы.

P.s. догнали ли вы потом девушку или нет - решайте сами)).

Задача по физике - 3505

2017-05-27
Мотоциклист движется по горизонтальной плоскости, описывая окружность радиуса $R = 90 м$ (рис.); коэффициент трения колес о почву $k = 0,4$. На какой угол d от вертикали должен отклониться мотоциклист при скорости $v_{1} = 15 м/с$? С какой максимальной скоростью может он ехать по заданной окружности?

Решение:

Будем рассматривать мотоциклиста и мотоцикл как единое твердое тело. На мотоциклиста при его движении действуют: сила тяжести; сила нормальной реакции; сила тяги двигателя; сила трения, направленная по касательной к траектории; сила трения, направленная к центру окружности. Поскольку при движении по окружности радиального перемещения у мотоциклиста нет, последняя сила - сила трения покоя.

Если мотоциклист движется с постоянной скоростью, то сила тяги двигателя и сила трения, направленные по касательной к траектории, взаимно компенсируют друг друга. Сила тяжести приложена к центру масс, сила нормальной реакции и радиальная сила трения покоя $\vec{f}_{тр}$ приложены к нижней точке каждого из колес и создают вращающий момент относительно воображаемой горизонтальной оси, проходящей через центр масс мотоциклиста. Ось эта вместе с центром масс движется относительно Земли по криволинейной траектории (окружности) и обладает нормальным ускорением. Следовательно, система отсчета, связанная с центром масс мотоциклиста, неинерциальна, и в ней на мотоциклиста, помимо всех перечисленных сил, действует еще центробежная сила инерции

$\vec{F}_{цб} = \sum \vec{F}_{цбi} = - \sum m_{i} \vec{a}_{ni} = \sum m_{i} \omega^{2} \vec{r}_{i}$,

где $m_{i}$ - масса каждой материальной точки; $\vec{a}_{ni}$ - ее нормальное ускорение, направленное к центру окружности; $\vec{r}_{i}$ - ее радиус-вектор, проведенный из центра окружности.

Размеры мотоциклиста малы по сравнению с радиусом его траектории, поэтому можно считать, что радиусы, описываемые каждой материальной точкой окружности, одинаковы, т. е. $r_{i} = R$, следовательно, одинаковы и линейные скорости всех точек. Тогда

$v_{i} = \omega R, F_{цб} = m \omega^{2} R$.

В этом случае центробежная сила инерции приложена в центре масс (как и сила тяжести) и не создает вращающего момента относительно рассматриваемой оси. Условие равновесия мотоциклиста сводится к тому, что сумма моментов сил трения $\vec{f}_{тр}$ и нормальной реакции $\vec{N}$ относительно горизонтальной оси, проходящей через центр масс, равна нулю:

$\vec{M}_{тр} + \vec{M}_{N} = 0$. (1)

Если размеры мотоциклиста сравнимы с радиусом $R$, то центробежные силы инерции, действующие на отдельные точки мотоциклиста, тем больше, чем больше радиус г, описываемой окружности. В этом случае точка приложения результирующей $\vec{F}_{цб}$ будет расположена ниже центра масс и вращающий момент относительно рассматриваемой оси окажется отличным от нуля. Тогда условие равновесия (1) несправедливо.

Уравнение (1) позволит найти угол $\alpha$ отклонения мотоциклиста от вертикали, так как моменты обеих сил [см. (1)] зависят от этого угла.

В рассматриваемой неинерциальной системе мотоциклист неподвижен. Следовательно, сумма всех сил, действующих на мотоциклиста, равна нулю:

$m \vec{g} + \vec{F}_{цб} + \vec{f}_{тр} + \vec{N} = 0$. (2)

Поскольку центробежная сила инерции зависит от угловой скорости движения, уравнение (2) позволит найти ее возможные значения.

Моменты сил трения и нормальной реакции будут скомпенсированы, т. е. равенство (1) выполняется, если результирующая этих сил проходит через центр масс, т. е. если

$rg \alpha = f_{тр}/N$. (3)

Равенство (2), записанное для проекций на оси: горизонтальной, направленной к центру описываемой окружности, и вертикальной, - примет вид

$f_{тр} - F_{цб} = 0$, (4)
$N - mg = 0$. (5)

Из равенства (4) найдем

$f_{тр} = m \omega^{2}R = mv^{2}/R$. (6)

Подставим выражения (5) и (6) в (3), учитывая, что $v = v_{1}$:

$tg \alpha = v_{1}^{2}/ (gR) = 0,255; \alpha = 14^{ \circ}$.

Как уже отмечалось, $f_{тр}$ есть сила трения покоя, следовательно, $f_{тр} \leq kN = kmg$ и равенство (4) можно записать в виде

$F_{цб} = f_{тр} \leq kmg$ или $mv^{2}/R \leq kmg$.

Окончательно

$v_{max} = \sqrt{kgR} = 19 м/с$.

Почему мотоциклисту не нужно качать мускулы, каким местом тело крепится к мотоциклу и почему не нужно копировать технику езды Валентино Росси. Мы разбираем типичные ошибки начинающих и продолжающих мотоциклистов, чью мотосудьбу не направила в правильное русло заботливая длань инструктора мотошколы.

От редакции:

Этот материал родился не по заказу редакции, а по доброй воле практикующего инструктора одной из подмосковных мотошкол. Ошибки и заблуждения, описанные в этом материале, свойственны не только первосезонникам, но и многим из тех, кто откатал уже не один и не два сезона. Чем дольше ездишь, тем крепче закрепляются в голове моторные навыки, но если они правильные - то это рост опыта, а если неправильные - то это рост вероятности того, что неприятность на дороге все-таки произойдет. А переучиваться, как известно, всегда сложнее, чем учиться с нуля. Более того, пока мы снимали фотоматериал для статьи на учебной площадке, мимо нас проехало около двух десятков типичных подмосковных мотоциклистов, и почти у каждого из них мы наблюдали те или иные ошибки, описанные в этой статье. Рекомендуем прочитать этот текст каждому, наверняка где-то вы сможете узнать себя, а значит, задуматься над исправлением своих собственных ошибок.

Чего общего между управлением мотоциклом и, например, игрой в настольный теннис. И то, и другое это комплекс приобретенных и отработанных до автоматизма базовых навыков, которые позволяют ездить или играть на определенном уровне, который можно совершенствовать и продвигаться вперед в своем умении. Если базовые навыки в теннисе поставлены неправильно, то ваш уровень - кривой теннисный стол во дворе и деревянные ракетки по полтиннику за штуку. Но если в случае настольного тенниса вы сами можете выбирать себе противника и точно знать, что с той стороны стола не последует разящего топ-спина, то с кем нам придется встретиться в дороге и какие сюрпризы нас поджидают за поворотом - неизвестно, а значит, надо быть готовым ко всему. В этом случае неправильно поставленные базовые навыки управления мотоциклом могут очень сильно навредить. База ставится в самом начале мотокарьеры, и если она поставлена неправильно или не поставлена вообще, то вас ждет долгий и болезненный путь обучения на собственном опыте. Между тем, начальные ошибки типичны, они характерны и для новичков, и для самоучек с опытом езды, даже с опытом в несколько сезонов. Рассмотрим наиболее типичные ошибки и, возможно, узнаем себя.

Деревенский рокер

Ошибка первая, пока еще даже не поехали: посадка.

Поза «Деревенского рокера» - корпус смещен назад, руки вытянуты.
Точное управление мотоциклом в такой позе невозможно.

И у новичков, и у тех, кто уже ездит и даже не один год, очень часто встречается так называемая посадка «деревенского рокера». Особенно ярко ошибка видна, когда большое тело сидит на маленьком мотоциклике и жалуется, что маловат аппарат и приходится чуть ли не на заднее сиденье садиться. Причина - отсутствие понятия о правильной посадке. В позе деревенского рокера всадник сидит на мотоцикле как на заборе, широко расставив ноги, отодвинув седалище назад, потому что опираться на прямые руки по-другому не получается. Естественно, что опора туловища частично приходится и на руки, которые, кроме удержания тела в продольном положении, должны придерживать его и от поперечных перемещений, ну а самое важное - еще и рулить. Вполне понятно, что руки, занятые поддержкой тела, не смогут рулить эффективно и точно. Теперь садимся правильно.

Правильное положение: корпус максимально придвинут к баку, спина прямая, руки расслаблены.

Первое, каким бы маленьким не был «мопед», водитель должен сидеть вплотную к баку, внутренние поверхности бедер должны быть прижаты к бензобаку. Должно быть ощущение присутствия мотоцикла между ног. Для многих это становится неожиданностью, но ноги - это точка крепления мотоциклиста к мотоциклу. Простое упражнение - усидеть на стоящем мотоцикле без рук, когда второй человек его качает и толкает в разные стороны, поможет понять истинную функцию ног.

Руки: стоит запомнить одну важную вещь, руль - не поручень, не надо за него держаться, не надо в него упираться, не надо на нем виснуть, все функции поддержания тела на мотоцикле мы уже отдали ногам, пусть они этим занимаются. Руки у нас для того, чтобы решать две задачи: оперировать органами управления на руле и, собственно, рулить (в зависимости от ситуации, по-разному, но смысл один - воздействовать на управляемое колесо). Для этого руки должны просто лежать на руле, локти и плечи расслаблены. Подчеркну, локти полусогнуты, прямых рук быть не должно, прямые руки, это велосипедное наследие, которое нам в данном случае совсем не подходит.

Неправильное положение (слева): руки напряжены, ручки зажаты в кулаках, локти и плечи подняты, мышцы напряжены. В такой позе одна рука будет мешать другой, а рулежка корпусом не точна и опасна.

Правильное положение (справа): все мышцы расслаблены, локти опущены, кисти спокойно лежат на ручках. Чем расслабленнее мышцы, тем проще будет управлять мотоциклом.

Частая ошибка: неправильное положение кистей. Запястья должны быть немного прогнуты, чтобы лучевая кость упиралась в трубу руля. Однако правая рука крутит ручку газа, и часто водитель поднимает запястье, чтобы уж точно хватило хода ручки. Хода хватит и так, а вот из неправильного положения правого запястья следуют две нехороших вещи: неконтролируемое открытие газа при разгоне, когда руки придерживают туловище от падения назад, и такое же неконтролируемое открытие газа при работе передним тормозом. Оба явления весьма неприятны и могут привести к падению, следите за руками. С посадкой разобрались, теперь первая вниз и поехали.

Неправильное положение (сверху): при вывернутых запястьях запаса хода для полного поворота ручки газа все равно не хватит, а при ускорении можно запросто перегазовать.

Правильное положение (внизу): лучевая кость «упирается» в трубу руля. Хват расслабленный, кисть находится в естественном анатомичном положении.

Маневрируем на небольшой скорости, например, экзаменационная восьмерка (кстати, при грамотном подходе, очень толковое упражнение, из которого можно выжать много полезного). Водитель хочет довернуть мотоцикл в поворот, наклоняет туловище внутрь поворота и... вариант первый - мотоцикл едет совсем не туда, куда надо, а совсем в другую сторону, вариант второй - мотоцикл падает внутрь поворота, касание ногой, расстройство и недоумение.

Неправильная поза: попытка доложить мотоцикл внутрь поворота массой тела не увенчается успехом, а вот мотоцикл поедет по совершенно неожиданной и незапланированной траектории.

На закономерный вопрос «а ты зачем так в поворот наклонился?» получаю закономерный ответ «дык MotoGP смотрел, там все так делают». Как там, у классика: «не читайте советских газет перед едой»? Что происходит, когда в повороте мы наклоняемся внутрь: система мотоцикл-водитель равновесна, поэтому, если вы наклоняетесь в одну сторону, то мотоцикл, чтобы сохранить равновесие, наклоняется в другую, и, вполне естественно, ну никак не хочет влезать в поворот.

Правильное положение: мотоцикл наклоняется внутрь поворота, корпус остается в вертикальном положении. На малых скоростях гораздо проще перекладывать мотоцикл из виража в вираж и точно контролировать траектории движения. Кроме того, такая техника требует гораздо меньше усилий для управления.

Выход из ситуации прост - поменяйтесь с мотоциклом местами, нужно наклонить мотоцикл внутрь поворота вместо себя.
Простая аксиома - мотоцикл в поворот нужно наклонять.

Еще одна ошибка управления - силовое руление. Кисти вцепляются в руль, напряженные мышцы плечевого пояса и рук создают прочный каркас вокруг руля, и крутить руль приходится туловищем. При таком раскладе точного руления не получится никак. Происходит борьба правой и левой руки, одна рука поворачивает, другая противостоит, первая хочет довернуть руль еще, вторая не дает, и так постоянно, в борьбу включается корпус, и со стороны наблюдается интересная картина, человек на мотоцикле извивается как червяк и движется по причудливой траектории.

Дайте рукам жить спокойно, расслабьте их, опустите плечи, опустите локти, расслабьте кисти. Хорошо прочищает мозг маневрирование с одной правой рукой. Действия руки просты, как валенки, либо руль толкаем от себя ладонью, либо тянем на себя пальцами, жесткой фиксации кисти быть не должно. И еще, работает только рука, сгибаясь в локте, плечи и все туловище в воздействии на руль не участвуют.

Самый простой способ грохнуться

Самые фееричные падения, какие мне приходилось видеть на учебной площадке, происходили из-за ошибок торможения. Часто начинающих наездников интересует больше откручивание ручки газа, нежели правильное торможение после этого откручивания, а зря.

Типичные ошибки: торможение в наклоне, торможение с повернутым рулем, резкое торможение, неправильная оценка состояния дорожного покрытия и погодных условий и, как следствие, неверный выбор способа торможения.

На начальном этапе стоит четко усвоить: мотоцикл тормозит только в вертикальном положении и только с прямым рулем. Trail-braking оставим более продвинутым райдерам. Торможение передним тормозом в наклоне или с повернутым рулем приведет к моментальному сносу переднего колеса, результат - молниеносное падение. Торможение задним тормозом приведет к заносу мотоцикла. Одним словом, в повороте тормозить нельзя!

Резкое нажатие на тормоз приводит к блокировке колеса и потере сцепления с дорогой. Необходимо отрабатывать навык прогрессивного торможения, когда усилие на тормозе возрастает плавно, но быстро. И обратно, если колесо заблокировалось, нельзя резко бросать тормоз, это приведет к потере контроля над мотоциклом, ослаблять давление на тормоз следует также плавно, но быстро.

Неправильное положение: в момент торможения спина и ноги расслаблены, вся масса тела, гасящего энергию движения, приходится на руки. В таком положении невозможно надежно контролировать мотоцикл и уж тем более - резко изменять направление движения.

Чтобы грамотно применять тормоза в зависимости от дорожных условий, нужно понять: передний тормоз имеет максимальную эффективность, но не стабилен, то есть при блокировке переднего колеса «уборка» обеспечена, весь его потенциал реализуется при идеальном состоянии дорожного покрытия, когда нет песка, дождя, битума и прочих «приятностей». Задний тормоз наоборот, имеет низкую эффективность, но высокую стабильность, даже при блокировке колеса, вы вполне можете сохранить контроль над мотоциклом. Область его применения - скользкие покрытия. Конечно, максимальное замедление достигается одновременным использованием обоих тормозов, но, в зависимости от покрытия, один основной, другой вспомогательный.

Другая частая ошибка при торможении - «подвешивание» на руль. Вы тормозите, по инерции туловище уходит вперед, вы, упираясь в руль, пытаетесь его поддержать руками. Тут начинается самое интересное: под действием тяжести туловища, руль немного поворачивается, вы пытаетесь скорректировать его положение, но, из-за груза туловища на руках, сделать это точно не получается, поэтому происходит переруливание, вы снова пытаетесь скорректировать руль, но происходит только увеличение амплитуды руления. Это прямой путь к блокировке колеса и падению. При торможении нужно удерживать туловище мышцами спины, держась при этом ногами за бак (вспоминаем, человек крепится к мотоциклу ногами). Очень помогает отработать этот навык торможение с одной рукой передним тормозом, и торможение со скорости вообще без рук - задним.

Правильное положение: в вертикальном положении тело удерживают ноги и мышцы спины. Руки расслаблены и заняты тем, чем и должны - управлением мотоциклом. Раскованность рук - залог свободы и точности маневрирования.

Может, лучше вышивать крестиком?

Это не к тому, что я д’Артаньян, а остальным ездить не дано. Я часто интересуюсь, зачем тому или иному человеку мотоцикл. Ответы разные, но часть из них - мишура, та сторона мотожизни, которая «гламур и тётки». А между тем, мотоцикл - это опасно, смертельно опасно, и только осознав это, можно садиться на этот вид транспорта. Подумайте - для девочек, - стоит ли сэлфи в шлеме с накрашенными глазами того, что может случиться с вами на дороге? Для мальчиков - девчонки уже давно перестали вестись на мотоциклы, мотоциклы есть у всех, может, как-то по-другому решать свои личные проблемы? Цена-то высока. Сходите в мотошколу, просто покататься, понять, а надо ли вам оно.

На фото - мотоциклист, проезжавший мимо площадки мотошколы. Снятый совершенно случайно, этот персонаж наглядно демонстрирует почти половину ошибок, описанных выше. Запястья вывернуты вверх, локти задраны, плечи напряжены. При этом, ноги расслаблены, а колени болтаются - имеем классический "вис на руле".
Ну и полное пренебрежение даже минимальными средствами защиты от "асфальтовой болезни", пусть это и 50-кубовый мокик, и тихий подмосковный город.

Частая фраза в мотошколе: «да мне только сдать экзамен, права получить, а я там дальше сам по гаражам ездить научусь». Не научитесь. Бесценное свойство мотошколы - это то, что за вами и вашими ошибками смотрят, и как только они появляются, их корректируют. Более того, экзамен практически ничего общего с реальным вождением не имеет, и навыков правильного управления мотоциклом подготовка к экзамену даст минимум. И помните: учимся мы все ради того Одного Раза, когда правильные навыки управления мотоциклом спасут жизнь, а может, и не одну.

Если задавать вопрос "почему велосипед не падает?" всем подряд, то большинство, скорее всего, не смогут ответить на него. Просто пожмут плечами. Меньшая часть, считающая себя технически грамотными людьми, ответит, что это, вероятно, из-за эффекта гироскопа. И, наверно, будут удивлены, узнав, что гироскоп не имеет к этому никакого отношения, это показал эксперимент в котором нивелировали этот эффект, а велосипед продолжал ехать. И лишь незначительное меньшинство ответит правильно. Итак, почему не падают велосипедисты?

Велосипед не падает из-за центробежной силы

Для сохранения равновесия любого тела необходимо, чтобы перпендикуляр, опущенный из центра его тяжести, не выходил за площадь опоры. Чем меньше последняя, тем менее устойчиво положение.

Площадь опоры велосипеда предельно мала – по сути, она представляет собой прямую линию, проведенную между точками касания колесами земли. Поэтому велосипед (с велосипедистом или без него) не может стоять, находясь в неподвижном положении. Но при движении устойчивость чудесным образом возвращается к нему. Почему это происходит?

Все дело в центробежной силе, которая возникает при подруливании. Если движущийся велосипед начинает наклоняться в какую-нибудь сторону, велосипедист слегка поворачивает руль в сторону наклона, заставляя машину поворачиваться. При этом возникает центробежная сила, направленная в сторону, противоположную наклону. Она-то и возвращает велосипед в вертикальное положение. Двухколесный велосипед не способен ехать строго по прямой. Если его руль зафиксировать в неподвижном положении, он обязательно упадет, потому что исключается возможность подруливания.

Этот процесс – отклонение от вертикали и возвращение к ней – происходит непрерывно. Велосипедист даже не задумывается о том, что происходит. Его руки автоматически совершают подруливание, которое необходимо для сохранения вертикального положение. К слову сказать, именно в приобретении автоматизма подруливания и состоит обучение езды на велосипеде.

Конструкция велосипеда и поддержание равновесия

Конструкция рулевой колонки и передней вилки велосипеда облегчает автоматическое поддержание равновесия. Ось рулевой колонки (передней вилки) проходит не вертикально, а наклонно к земле. Точка ее пересечения с грунтом располагается впереди того места, где переднее колесо соприкасается с дорогой. Такая схема способствует тому, что если переднее колесо случайно отклоняется от среднего положения, сразу возникает момент реактивных сил, который возвращает его на место.

При наклоне велосипеда реакция опоры переднего колеса, которая приложена в точке его касания с землей и направлена вверх, автоматически поворачивает колесо в сторону наклона. Возникает центробежная сила и велосипед возвращается в вертикальное положение.

Для лучшего понимания этого процесса, нужно просто принять во внимание, что схема сил, действующих на переднее колесо велосипеда, является примерно такой же, как и у тележек с вращающимися колесами. В какую сторону тележку не толкать, колеса автоматически поворачиваются в нужном направлении. Кстати, именно эта особенность конструкции велосипеда обеспечивает возможность езды, не держась руками за руль. Велосипед самостоятельно поддерживает равновесие. А чтобы выполнить поворот, достаточно сместить центр тяжести своего тела в сторону.

Степень способности конкретного велосипеда поддерживать динамическое равновесие определяется конструкцией его рулевой колонки и вилки. Главный параметр здесь – расстояние от точки соприкосновения переднего колеса с землей, до точки пересечения оси рулевой колонки (передней вилки) с грунтом. Как уже говорилось, последняя находится впереди первой. Реактивный момент, действующий на колесо при его повороте, будет тем выше, чем больше это расстояние. Для оптимальных динамических характеристик велосипеда требуется не самый большой, а строго определенный реактивный момент. Слишком малый уменьшит автоматическое поддержание равновесия, чрезмерно большой – приведет к возникновению «шимми». Поэтому наклон оси рулевой колонки и параметры передней вилки при проектировании велосипеда выбираются очень тщательно.

Что такое «шимми»

При высокой скорости (выше 30 км/час) переднее колесо велосипеда может начать самопроизвольно вилять вправо-влево. Это явление, которое, кстати, имеет место и в авиации, называется «speed wobbles» или «шимми». Причина его заключается не в неисправности велосипеда (плохой сборке или ослаблении креплений), а в том, что возникает резонанс переднего колеса. «Шимми» очень опасно в том случае, когда велосипедист едет «без рук», то есть не держится за руль. Чтобы погасить возникший резонанс, нужно снизить скорость или изменить позу.

Велосипед – энергоэффективней

По затратам энергии на единицу преодоленного расстояния велосипед эффективней не только ходьбы, но и езды на автомобиле. При движении велосипеда со скоростью 30 км/час тратится 15 ккал на 1 км. Ходьба со скоростью 5 км/час приводит к сжиганию 60 ккал на 1 км. То есть по энергозатратам на единицу расстояния движение на велосипеде в 4 раза эффективнее ходьбы.

… и функциональней

Если рассматривать езду на велосипеде с точки зрения спортивной нагрузки, то она тоже оказывается предпочтительней ходьбы. Катание на велосипеде отнимает 450 ккал в час, в то время как при ходьбе тратится только 300 ккал. Конечно, физическую нагрузку можно увеличить, перейдя с шага на бег. Но в этом случае возрастает нагрузка на колени и голеностопные суставы, что нежелательно, поскольку со временем может привести к травме этих проблемных мест.

Когда женщины быстрее

Тренированный мужчина, даже не будучи профессиональным спортсменом, может длительное время развивать мощность 250 Вт или 0,33 л. с. При езде на велосипеде по ровной дороге это примерно соответствует скорости 30 км/час. Женщины не могут развивать такой мощности, как мужчины, но в расчете на единицу веса их энергетические показатели превосходят мужские. При езде по ровной дороге, когда вся мощность тратится в основном на преодоление сопротивления воздуха, женщины едут медленнее, чем мужчины. Зато при езде в гору, когда энергия тратится на преодоление силы тяжести, они способны ехать быстрее сильной половины.

Асламазов Л.Г. Движение по окружности // Квант. - 1972. - № 9. - С. 51-57.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант»

Для описания движения по окружности наряду с линейной скоростью вводят понятие угловой скорости. Если точка при движении по окружности за время Δt описывает дугу, угловая мера которой Δφ, то угловая скорость .

Угловая скорость ω связана с линейной скоростью υ соотношением υ = ω·r , где r - радиус окружности, по которой движется точка (рис. 1). Понятие угловой скорости особенно удобно для описания вращения твердого тела вокруг оси. Хотя линейные скорости у точек, находящихся на разном расстоянии от оси, будут неодинаковыми, их угловые скорости будут равны, и можно говорить об угловой скорости вращения тела в целом.

Задача 1 . Диск радиуса r катится без проскальзывания по горизонтальной плоскости. Скорость центра диска постоянная и равна υ п. С какой угловой скоростью при этом вращается диск?

Каждая точка диска участвует в двух движениях - в поступательном движении со скоростью υ п вместе с центром диска и во вращательном движении вокруг центра с некоторой угловой скоростью ω.

Для нахождения ω воспользуемся отсутствием проскальзывания, то есть тем, что в каждый момент времени скорость точки диска, соприкасающейся с плоскостью, равна нулю. Это означает, что для точки А (рис. 2) скорость поступательного движения υ п равна по величине и противоположна по направлению линейной скорости вращательного движения υ вр = ω·r . Отсюда сразу получаем .

Задача 2. Найти скорости точек В , С и D того же диска (рис. 3).

Рассмотрим вначале точку В . Линейная скорость ее вращательного движения направлена вертикально вверх и равна , то есть по величине равна скорости поступательного движения, которая, однако, направлена горизонтально. Складывая векторно эти две скорости, находим, что результирующая скорость υ B по величине равна и образует угол 45º с горизонтом. У точки С скорости вращательного и поступательного движения направлены в одну сторону. Результирующая скорость υ C равна 2υ п и направлена горизонтально. Аналогично находится и скорость точки D (см. рис. 3).

Даже в том случае, когда скорость точки, движущейся по окружности, не меняется по величине, точка имеет некоторое ускорение, так как меняется направление вектора скорости. Это ускорение называется центростремительным . Оно направлено к центру окружности и равно (R - радиус окружности, ω и υ - угловая и линейная скорости точки).

Если же скорость точки, движущейся по окружности, меняется не только по направлению, но и по величине, то наряду с центростремительным ускорением существует и так называемое тангенциальное ускорение. Оно направлено по касательной к окружности и равно отношению (Δυ - изменение величины скорости за время Δt ).

Задача 3. Найти ускорения точек А , В , С и D диска радиуса r , катящегося без проскальзывания по горизонтальной плоскости. Скорость центра диска постоянна и равна υ п (рис. 3).

В системе координат, связанной с центром диска, диск вращается с угловой скоростью ω, а плоскость движется поступательно со скоростью υ п. Проскальзывание между диском и плоскостью отсутствует, следовательно, . Скорость поступательного движения υ п не меняется, поэтому угловая скорость вращения диска постоянная и точки диска имеют только центростремительное ускорение , направленное к центру диска. Так как система координат движется без ускорения (с постоянной скоростью υ п), то в неподвижной системе координат ускорения точек диска будут теми же.

Перейдем теперь к задачам на динамику вращательного движения. Вначале рассмотрим простейший случай, когда движение по окружности происходит с постоянной скоростью. Так как ускорение тела при этом направлено к центру, то и векторная сумма всех сил, приложенных к телу, должна быть тоже направлена к центру, и по II закону Ньютона .

Следует помнить, что в правую часть этого уравнения входят только реальные силы, действующие на данное тело со стороны других тел. Никакой центростремительной силы при движении по окружности не возникает. Этим термином пользуются просто для обозначения равнодействующей сил, приложенных к телу, движущемуся по окружности. Что касается центробежной силы , то она возникает только при описании движения по окружности в неинерциальной (вращающейся) системе координат. Мы пользоваться здесь понятием центростремительной и центробежной силы вообще не будем.

Задача 4 . Определить наименьший радиус закругления дороги, которое автомобиль может пройти при скорости υ = 70 км/ч и коэффициенте трения шин о дорогу k =0,3.

Р = m·g , сила реакции дороги N и сила трения F тp между шинами автомобиля и дорогой. Силы Р и N направлены вертикально и равны по величине: P = N . Сила трения, препятствующая проскальзыванию («заносу») автомобиля, направлена к центру поворота и сообщает центростремительное ускорение: . Максимальное значение силы трения F тр max = k ·N = k ·m·g , поэтому минимальное значение радиуса окружности, по которой еще возможно движение со скоростью υ, определяется из уравнения . Отсюда (м).

Сила реакции дороги N при движении автомобиля по окружности не проходит через центр тяжести автомобиля. Это связано с тем, что ее момент относительно центра тяжести должен компенсировать момент силы трения, стремящийся опрокинуть автомобиль. Величина силы трения тем больше, чем больше скорость автомобиля . При некотором значении скорости момент силы трения превысит момент силы реакции и автомобиль опрокинется.

Задача 5 . При какой скорости автомобиль, движущийся по дуге окружности радиуса R = 130 м, может опрокинуться? Центр тяжести автомобиля находится на высоте h = 1 м над дорогой, ширина следа автомобиля l = 1,5 м (рис. 4).

В момент опрокидывания автомобиля как сила реакции дороги N , так и сила трения F тp приложены к «внешнему» колесу. При движении автомобиля по окружности со скоростью υ на него действует сила трения . Эта сила создает момент относительно центра тяжести автомобиля . Максимальный момент силы реакции дороги N = m·g относительно центра тяжести равен (в момент опрокидывания сила реакции проходит через внешнее колесо). Приравнивая эти моменты, найдем уравнение для максимальной скорости, при которой автомобиль еще не опрокинется:

Откуда ≈ 30 м/с ≈ 110 км/ч.

Чтобы автомобиль мог двигаться с такой скоростью, необходим коэффициент трения (см. предыдущую задачу).

Аналогичная ситуация возникает при повороте мотоцикла или велосипеда. Сила трения, создающая центростремительное ускорение, имеет момент относительно центра тяжести, стремящийся опрокинуть мотоцикл. Поэтому для компенсации этого момента моментом силы реакции дороги мотоциклист наклоняется в сторону поворота (рис. 5).

Задача 6 . Мотоциклист едет по горизонтальной дороге со скоростью υ = 70 км/ч, делая поворот радиусом R = 100 м. На какой угол α к горизонту он должен при этом наклониться, чтобы не упасть?

Сила трения между мотоциклом и дорогой , так как она сообщает мотоциклисту центростремительное ускорение. Сила реакции дороги N = m·g . Условие равенства моментов силы трения и силы реакции относительно центра тяжести дает уравнение: F тp ·l ·sin α = N ·l ·cos α, где l - расстояние ОА от центра тяжести до следа мотоцикла (см. рис. 5).

Подставляя сюда значения F тp и N , находим что или . Отметим, что равнодействующая сил N и F тp при этом угле наклона мотоцикла проходит через центр тяжести, что и обеспечивает равенство нулю суммарного момента сил N и F тp .

Для того, чтобы увеличить скорость движения по закруглению дороги, участок дороги на повороте делают наклонным. При этом в создании центростремительного ускорения, кроме силы трения, участвует и сила реакции дороги.

Задача 7 . С какой максимальной скоростью υ может двигаться автомобиль по наклонному треку с углом наклона α при радиусе закругления R и коэффициенте трения шин о дорогу k ?

На автомобиль действуют сила тяжести m·g , сила реакции N , направленная перпендикулярно плоскости трека, и сила трения F тp , направленная вдоль трека (рис. 6).

Так как нас не интересуют в данном случае моменты сил, действующих на автомобиль, мы нарисовали все силы приложенными к центру тяжести автомобиля. Векторная сумма всех сил должна быть направлена к центру окружности, по которой движется автомобиль, и сообщать ему центростремительное ускорение. Поэтому сумма проекций сил на направление к центру (горизонтальное направление) равна , то есть

Сумма проекций всех сил на вертикальное направление равна нулю:

N ·cos α – m·g – F т p ·sin α = 0.

Подставляя в эти уравнения максимальное возможное значение силы трения F тp = k·N и исключая силу N , находим максимальную скорость , с которой еще возможно движение по такому треку. Это выражение всегда больше значения , соответствующего горизонтальной дороге.

Разобравшись с динамикой поворота, перейдем к задачам на вращательное движение в вертикальной плоскости.

Задача 8 . Автомобиль массы m = 1,5 т движется со скоростью υ = 70 км/ч по дороге, показанной на рисунке 7. Участки дороги АВ и ВС можно считать дугами окружностей радиуса R = 200 м, касающимися друг друга в точке В . Определить силу давления автомобиля на дорогу в точках А и С . Как меняется сила давления при прохождении автомобилем точки В ?

В точке А на автомобиль действуют сила тяжести Р = m·g и сила реакции дороги N A . Векторная сумма этих сил должна быть направлена к центру окружности, то есть вертикально вниз, и создавать центростремительное ускорение: , откуда (Н). Сила давления автомобиля на дорогу равна по величине и противоположна по направлению силе реакции. В точке С векторная сумма сил направлена вертикально вверх: и (Н). Таким образом, в точке А сила давления меньше силы тяжести, а в точке С - больше.

В точке В автомобиль переходит с выпуклого участка дороги на вогнутый (или наоборот). При движении по выпуклому участку проекция силы тяжести на направление к центру должна превышать силу реакции дороги N B 1 , причем . При движении по вогнутому участку дороги, наоборот, сила реакции дороги N В 2 превосходит проекцию силы тяжести: .

Из этих уравнений получаем, что при прохождении точки В сила давления автомобиля на дорогу меняется скачком на величину ≈ 6·10 3 Н. Разумеется, такие ударные нагрузки действуют разрушающе как на автомобиль, так и на дорогу. Поэтому дороги и мосты всегда стараются делать так, чтобы их кривизна менялась плавно.

При движении автомобиля по окружности с постоянной скоростью сумма проекций всех сил на направление, касательное к окружности, должна быть равна нулю. В нашем случае касательная составляющая силы тяжести уравновешивается силой трения между колесами автомобиля и дорогой.

Величина силы трения регулируется вращательным моментом, прикладываемым к колесам со стороны мотора. Этот момент стремится вызвать проскальзывание колес относительно дороги. Поэтому возникает сила трения, препятствующая проскальзыванию и пропорциональная приложенному моменту. Максимальное значение силы трения равно k·N , где k - коэффициент трения между шинами автомобиля и дорогой, N - сила давления на дорогу. При движении автомобиля вниз сила трения играет роль тормозящей силы, а при движении вверх, наоборот, роль силы тяги.

Задача 9 . Автомобиль массой m = 0,5 т, движущийся со скоростью υ = 200 км/ч, совершает «мертвую петлю» радиуса R = 100 м (рис. 8). Определить силу давления автомобиля на дорогу в верхней точке петли А ; в точке В , радиус-вектор которой составляет угол α = 30º с вертикалью; в точке С , в которой скорость автомобиля направлена вертикально. Возможно ли движение автомобиля по петле с такой постоянной скоростью при коэффициенте трения шин о дорогу k = 0,5?

В верхней точке петли сила тяжести и сила реакции дороги N A направлены вертикально вниз. Сумма этих сил создает центростремительное ускорение: . Поэтому Н.

Сила давления автомобиля на дорогу равна по величине и противоположна по направлению силе N А .

В точке В центростремительное ускорение создается суммой силы реакции и проекции силы тяжести на направление к центру: . Отсюда Н.

Легко видеть, что N B > N A ; с увеличением угла α сила реакции дороги увеличивается.

В точке С сила реакции Н; центростремительное ускорение в этой точке создается только силой реакции, а сила тяжести направлена по касательной. При движении по нижней части петли сила реакции будет превышать и максимальное значение Н сила реакции имеет в точке D . Значение , таким образом, является минимальным значением силы реакции.

Скорость автомобиля будет постоянной, если касательная составляющая силы тяжести не превышает максимальной силы трения k·N во всех точках петли. Это условие заведомо выполняется, если минимальное значение превосходит максимальное значение касательной составляющей силы веса. В нашем случае это максимальное значение равно m·g (оно достигается в точке С ), и условие выполняется при k = 0,5, υ = 200 км/ч, R = 100 м.

Таким образом, в нашем случае движение автомобиля по «мертвой петле» с постоянной скоростью возможно.

Рассмотрим теперь движение автомобиля по «мертвой петле» с выключенным мотором. Как уже отмечалось, обычно момент силы трения противодействует моменту, приложенному к колесам со стороны мотора. При движении автомобиля с выключенным мотором этого момента нет, и силой трения между колесами автомобиля и дорогой можно пренебречь.

Скорость автомобиля уже не будет постоянной - касательная составляющая силы тяжести замедляет или ускоряет движение автомобиля по «мертвой петле». Центростремительное ускорение тоже будет меняться. Создается оно, как обычно, равнодействующей силы реакции дороги и проекции силы тяжести на направление к центру петли.

Задача 10 . Какую наименьшую скорость должен иметь автомобиль в нижней точке петли D (см. рис. 8) для того, чтобы совершить ее с выключенным мотором? Чему будет равна при этом сила давления автомобиля на дорогу в точке В ? Радиус петли R = 100 м, масса автомобиля m = 0,5 т.

Посмотрим, какую минимальную скорость может иметь автомобиль в верхней точке петли А , чтобы продолжать двигаться по окружности?

Центростремительное ускорение в этой точке дороги создается суммой силы тяжести и силы реакции дороги . Чем меньшую скорость имеет автомобиль, тем меньшая возникает сила реакции N A . При значении эта сила обращается в нуль. При меньшей скорости сила тяжести превысит значение, необходимое для создания центростремительного ускорения, и автомобиль оторвется от дороги. При скорости сила реакции дороги обращается в нуль только в верхней точке петли. В самом деле, скорость автомобиля на других участках петли будет большей, и как легко видеть из решения предыдущей задачи, сила реакции дороги тоже будет большей, чем в точке А . Поэтому, если автомобиль в верхней точке петли имеет скорость , то он нигде не оторвется от петли.

Теперь определим, какую скорость должен иметь автомобиль в нижней точке петли D , чтобы в верхней точке петли А его скорость . Для нахождения скорости υ D можно воспользоваться законом сохранения энергии, как если бы автомобиль двигался только под действием силы тяжести. Дело в том, что сила реакции дороги в каждый момент направлена перпендикулярно перемещению автомобиля, а, следовательно, ее работа равна нулю (напомним, что работа ΔA = F ·Δs ·cos α, где α - угол между силой F и направлением перемещения Δs ). Силой трения между колесами автомобиля и дорогой при движении с выключенным мотором можно пренебречь. Поэтому сумма потенциальной и кинетической энергии автомобиля при движении с выключенным мотором не меняется.

Приравняем значения энергии автомобиля в точках А и D . При этом будем отсчитывать высоту от уровня точки D , то есть потенциальную энергию автомобиля в этой точке будем считать равной нулю. Тогда получаем

Подставляя сюда значение для искомой скорости υ D , находим: ≈ 70 м/с ≈ 260 км/ч.

Если автомобиль въедет в петлю с такой скоростью, то он сможет совершить ее с выключенным мотором.

Определим теперь, с какой силой при этом автомобиль будет давить на дорогу в точке В . Скорость автомобиля в точке В опять легко находится из закона сохранения энергии:

Подставляя сюда значение , находим, что скорость .

Воспользовавшись решением предыдущей задачи, по заданной скорости находим силу давления в точке B :

Аналогично можно найти силу давления в любой другой точке «мертвой петли».

Упражнения

1. Найти угловую скорость искусственного спутника Земли, вращающегося по круговой орбите с периодом обращения Т = 88 мин. Найти линейную скорость движения этого спутника, если известно, что его орбита расположена на расстоянии R = 200 км от поверхности Земли.

2. Диск радиуса R помещен между двумя параллельными рейками. Рейки движутся со скоростями υ 1 и υ 2 . Определить угловую скорость вращения диска и скорость его центра. Проскальзывание отсутствует.

3. Диск катится по горизонтальной поверхности без проскальзывания. Показать, что концы векторов скоростей точек вертикального диаметра находятся на одной прямой.

4. Самолет движется по окружности с постоянной горизонтальной скоростью υ = 700 км/час. Определить радиус R этой окружности, если корпус самолета наклонен на угол α = 5°.

5. Груз массы m = 100 г, подвешенный на нити длины l = 1 м, равномерно вращается по кругу в горизонтальной плоскости. Найти период обращения груза, если при его вращении нить отклонена по вертикали на угол α = 30°. Определить также натяжение нити.

6. Автомобиль движется со скоростью υ = 80 км/ч по внутренней поверхности вертикального цилиндра радиуса R = 10 м по горизонтальному кругу. При каком минимальном коэффициенте трения между шинами автомобиля и поверхностью цилиндра это возможно?

7. Груз массой m подвешен на нерастяжимой нити, максимально возможное натяжение которой равно 1,5m·g . На какой максимальный угол α можно отклонить нить от вертикали, чтобы при дальнейшем движении груза нить не оборвалась? Чему будет равно при этом натяжение нити в тот момент, когда нить составит угол α/2 с вертикалью?

Ответы

I. Угловая скорость искусственного спутника Земли ≈ 0,071 рад/с. Линейная скорость спутника υ = ω·R . где R - радиус орбиты. Подставляя сюда R = R 3 + h , где R 3 ≈ 6400 км, находим υ ≈ 467 км/с.

2. Здесь возможны два случая (рис. 1). Если угловая скорость диска ω, а скорость его центра υ, то скорости точек, соприкасающихся с рейками, будут соответственно равны

в случае a) υ 1 = υ + ω·R , υ 2 = υ – ω·R ;

в случае б) υ 1 = υ + ω·R , υ 2 = ω·R – υ.

(Мы приняли для определенности, что υ 1 > υ 2). Решая эти системы, находим:

а)

б)

3. Скорость любой точки М , лежащей на отрезке ОВ (см. рис. 2), находится по формуле υ M = υ + ω·r M , где r M - расстояние от точки М до центра диска О . Для любой точки N , принадлежащей отрезку ОА , имеем: υ N = υ – ω·r N , где r N - расстояние от точки N до центра. Обозначим через ρ расстояние от любой точки диаметра ВА до точки А соприкосновения диска с плоскостью. Тогда очевидно, что r M = ρ – R и r N = R – ρ = –(ρ – R ). где R - радиус диска. Поэтому скорость любой точки на диаметре ВА находится по формуле: υ ρ = υ + ω·(ρ – R ). Так как диск катится без проскальзывания, то и для скорости υ ρ получаем υ ρ = ω·ρ. Отсюда следует, что концы векторов скоростей находятся на прямой, выходящей из точки А и наклоненной к диаметру ВА под углом, пропорциональным угловой скорости вращения диска ω.

Доказанное утверждение позволяет нам сделать вывод, что сложное движение точек, находящихся на диаметре ВА , можно в каждый данный момент рассматривать как простое вращение вокруг неподвижной точки А с угловой скоростью ω, равной угловой скорости вращения вокруг центра диска. В самом деле, в каждый момент скорости этих точек направлены перпендикулярно диаметру ВА , а по величине равны произведению ω на расстояние до точки А .

Оказывается, что это утверждение справедливо для любой точки диска. Более того, оно является общим правилом. При любом движении твердого тела в каждый момент существует ось, вокруг которой тело просто вращается - мгновенная ось вращения.

4. На самолет действуют (см. рис. 3) сила тяжести Р = m·g и подъемная сила N , направленная перпендикулярно плоскости крыльев (так как самолет движется с постоянной скоростью, то сила тяги и сила лобового сопротивления воздуха уравновешивают друг друга). Равнодействующая сил Р

6. На автомобиль действуют (рис. 5) сила тяжести Р = m·g , сила реакции со стороны цилиндра N и сила трения F тp . Так как автомобиль движется по горизонтальному кругу, то силы Р и F тp уравновешивают друг друга, а сила N создает центростремительное ускорение . Максимальное значение силы трения связано с силой реакции N соотношением: F тp = k·N . В результате получаем систему уравнений: , из которой находится минимальное значение коэффициента трения

7. Груз будет двигаться по окружности радиуса l (рис. 6). Центростремительное ускорение груза (υ - скорость груза) создается разностью величин силы натяжения нити Т и проекции силы тяжести m·g направление нити: . Поэтому , где β - угол, образуемый нитью с вертикалью. По мере того, как груз будет опускаться, его скорость будет расти, а угол β будет уменьшаться. Натяжение нити станет максимальным при угле β = 0 (в тот момент, когда нить будет вертикальной): . Максимальная скорость груза υ 0 находится по углу α, на который отклоняют нить, из закона сохранения энергии:

Используя это соотношение, для максимального значения натяжения нити получаем формулу: T m ax = m·g ·(3 – 2 cos α). По условию задачи T m ах = 2m·g . Приравнивая эти выражения, находим cos α = 0,5 и, следовательно, α = 60°.

Определим теперь натяжение нити при . Скорость груза в этот момент также находится из закона сохранения энергии:

Подставляя значение υ 1 в формулу для силы натяжения, находим: