Цель работы : определение момента инерции некоторых тел относительно оси вращения, проходящей через центр масс, иссле­дование влияния на момент инерции переноса осей вращения (про­верка теоремы Штейнера методом крутильных колебаний).

Принадлежности : трифилярный подвес, секундомер, штан­ген­циркуль, тела для измерения момента инерции.

Вопросы, знание которых необходимо для допуска к выполнению работы

1. Угловая скорость. Связь между угловой скоростью тела и ли­нейной скоростью его точек. Единицы измерения.

2. Угловое ускорение. Связь между угловым ускорением тела и линейным ускорением его точек. Единицы измерения.

3. Что называется плечом силы?

4. Что называется моментом силы? Чем обусловлены его величина и направление? Единицы измерения.

5. Что называется моментом инерции твердого тела? Единицы из­мерения. От чего зависит величина момента инерции?

6. Напишите и поясните основное уравнение динамики вращательного движения. Какова роль момента инерции в этом уравнении?

7. Сформулируйте теорему Штейнера.

8. В чем отличие крутильных колебаний от колебаний физического маятника?

9. Почему натяжение нитей трифилярного подвеса должно быть одинаково?

10. Под действием какой силы трифилярный подвес совершает кру­тильные колебания?

11. Расскажите порядок выполнения работы.

ВВЕДЕНИЕ

При рассмотрении вращения твердого тела с динамической точки зрения понятие о силах заменяется понятием о моментах сил, понятие о массе - понятием о моменте инерции. Если разделить мысленно вращающееся твердое тело на n эле­ментарных масс Dm i , находящихся на расстоянии r i от оси вра­щения, то все они будут иметь в данный момент одинаковые угло­вые скорости и угловые ускорения .

Момент инерции материальной точки численно равен произведению массы точки Dm i на квадрат расстояния r i от оси вращения: Dm i ×r i 2 . Момент инерции всего твердого тела J численно равен сумме моментов инерции всех его точек:

. (1)

Величина момента инерции тела зависит от характера распределения масс относительно оси вращения и поэтому одно и то же тело может иметь разные моменты инерции относительно разных осей.

Если тело может вращаться вокруг неподвижной оси, то изменение его движения зависит от действующего на него момента силы. Моментом силы относительно неподвижной оси называется величина, численно равная произведению силы F на ее плечо h. Плечо силы – есть кратчайшее расстояние от центра вращения до линии действия силы.

Вращательное движение тела характеризуется угловой скоростью w и угловым ускорением b:

w = ; b = , (3)

где j - угловое перемещение тела.

Для случая параллельных осей применима теорема Штейнера: момент инерции относительно любой оси вращения равен сумме момента инерции относительно оси вращения, проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями (d): J = J 0 + md 2 . (5) Например. Подсчитаем момент инерции cплошного стержня длины l относительно оси О"О’ 1 , проходящей через конец стерж­ня (рис.1). По теореме Штейнера J = J 0 + md 2 . Момент инерции относительно оси oo 1 , прохо­дящей через центр масс, J 0 равен: . Следовательно, . На практике момент инерции тела мож­но определить методом трифилярного подвеса. Трифилярный под­вес представляет собой круглую платформу, подвешенную на трех симметрично расположенных нитях, укреплен­ных у краев этой платформы. Наверху эти нити также симметрично прикреплены к диску несколько меньшего диаметра, чем диаметр платформы (рис. 2). Платформа может совершать крутильные колебания вокруг вер­тикальной оси, перпендикулярной к ее плоскости и проходящей через ее центр. Центр тяжести платформы при этом перемещается по оси вращения. Период колебания определяется величиной мо­мента инерции платформы, он будет другим, если платформу на­грузить каким-либо другим телом. Этим и пользуются в настоящей работе. Если платформа массы m, вращаясь в одном направле­нии, поднялась на высоту h, то приращение потенциальной энергии будет равно E 1 = mgh. Вращаясь в другом направле­нии, платформа пройдет через положение равновесия с кинетичес­кой энергией, равной , где J - момент инерции платформы; w 0 - угловая скорость платформы в момент прохождения ею положения равновесия. Пренебрегая работой сил трения, на основании закона сохранения механической энергии имеем: Считая, что платформа совершает гармонические колебания, можем написать зависимость углового смещения j платформы от времени в виде: , (7) где a 0 - амплитуда колебаний, Т - период колебаний, t - текущее время. Угловая скорость, являющаяся первой производной j по времени, выражается как: В момент прохождения через положение равновесия (t = 0; (1/2)T; (3/2)Т и т.д.) абсолютное значение этой величины будет Из (6) и (9) имеем: . (10) Поворот платформы на угол a 0 около оси ОО" соответствует ее поднятию на высоту h. Если l - длина нитей подвеса, R - расстояние от центра платформы до точек крепления нитей на ней, r - радиус верхне­го диска, то легко видеть (рис. 3), что . Так как (ВС) 2 = (АВ) 2 - (AC) 2 = l 2 - (R - r) 2 , (ВС 1) 2 = (ВА 1) 2 - (А 1 С 1) 2 = l 2 - (R 2 + r 2 - 2R×r×cosa 0), то . При малых углах отклонения a 0 значение синуса этого угла можно заменить просто значением a 0 (a® sina » a), а величину знаменателя при выполнении условия (R - r)<l . Тогда h = и mg = × , По формуле (11) может быть определен не только момент инерции платформы, но также и тела, помещенного на нее, поскольку все величины в правой части формулы могут быть непосредственно из­мерены. Вращательный импульс, необходимый для начала крутильных колебаний, сообщается платформе путем поворота верхнего диска вокруг его оси при помощи натяжения шнура, приводящего в движе­ние рычажок, связанный с диском. Этим достигается почти полное отсутствие других не крутильных колебаний, наличие которых за­трудняет измерения. Для удобства отсчета колебаний на платформе имеется метка, против которой при покоящейся платформе устанавливается указатель - стержень на подставке. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ 1. Сообщают пустой платформе вращательный импульс и при помощи секундомера измеряют время 20 полных колебаний (t 0), что да­ет возможность достаточно точно определять величину периода Т 0 . 2. По формуле (11) определяют момент инерции пустой плат­формы J 0 . 3. Путем взвешивания определяют массу исследуемого тела (m), а затем нагружают им платформу и вновь измеряют время t 20 колебаний, а затем и период колебания Т всей системы. 4. По формуле (11) вычисляют момент инерции всей сис­темы J 1 , принимая ее массу равной сумме масс тела (m) и платформы (m 0). Величина момента инерции тела J определяется как разность J = J 1 - J 0 . 5. Данные заносятся в таблицу 1 и вычисляются абсолютная и относительная погрешности. 6. При помощи трифилярного подвеса проверяется теорема Штейнера, для чего необходимо иметь два совершенно одинаковых тела. Сначала определяют момент инерции этих тел, положив их одно на другое в центре платформы. Затем оба тела располага­ют симметрично на платформе и определяют их момент инерции. Половина этой величины и будет давать момент инерции одного тела, находящегося на фиксированном расстоянии от оси враще­ния. Зная это расстояние, массу тела, момент инерции тела, положенного в центре платформы, можно проверить теорему Штейнера. Таблица 1 № п/п r, м Dr, м R, м DR, м l , м m 0 , кг t 0 , c T 0 c DT 0 , c m, кг t, с Т, с DТ, с Среднее значение Тела на платформе следует располагать строго симметрично, так, чтобы не было перекоса платформы, для чего на платформе нанесены концентрические окружности на определенном расстоянии друг от друга. При измерениях необходимо использовать амплитуды колебаний, большие чем 5-6°. 1. Савельев И.В. Курс общей физики. T. I. - М.: Наука, 1989. 2. Архангельский М.М. Курс физики: механика. - М.: Просвещение, 1975. С. I69-I93. 3. Ливенцев Н.М. Курс физики.- М.: Высшая школа, 1974. § 11-13. 4. Грабовский В.И. Курс физики.- М.: Высшая школа, 1970. §21-23. 5. Эткинс П. Физическая химия. - М.: Мир. 1980. 6. Кац Ц.Б. Биофизика на уроках физики. - М.: Просвещение, 1988.

В валах поршневых машин (в двигателях внутреннего сгорания, поршневых компрессорах и т. п.) часто возникают крутильные колебания, связанные с неравномерностью (по времени) вращающего момента или момента, сопротивления.

Рис. 12.24. Конструктивная схема, коленчатого вала двигателя внутреннего сгорания - (автомобильные и тракторные двигатели, дизели и т. п.) и динамическая модель крутильных колебаний

Крутильные колебания могут возникать и в других машинах, если крутящий момент, передаваемый валом, не является постоянным. В качестве динамической модели при крутильных колебаниях обычно используется вал с дисками. Моменты инерции масс дисков рассматриваются как приведенные моменты инерции. Например, в поршневых машинах инерционные массы связаны с движением поршней, шатунов и других элементов и приводятся к дискам с эквивалентными моментами инерции. Жесткость участков валов, соединяющих диски принимается как эквивалентная для участков с непрямой осью (коленчатые валы и др.), при шлицевых соединениях и т. п. На рис. 12.24 показаны конструктивная схема коленчатого вала двигателя внутреннего сгорания и динамическая модель крутильных колебаний. Существуют более сложные модели крутильных колебаний с несколькими ветвями, что определяется конструктивными особенностями машин; остановимся на схеме «цепочной системы» (рис. 12.25).

Выведем уравнение крутильных колебаний v для системы из дисков. Рассмотрим уравнение движения диска (рис. 12.26), Обозначая угол поворота диска получим

где - крутящие моменты, действующие на диск со стороны валов правого и левого участков. Угол поворота диска зависит от времени.

Если обозначить жесткость участка , то

здесь - углы поворота конечных сечений участка; - упругий угол поворота вала на участке

где U - длина участка, - эквивалентная жесткость вала на кручение, G - модуль сдвига.

Рис. 12.25. Динамическая модель крутильных колебаний в машинах

Рис. 12.26. К выводу уравнений крутильных колебаний

Подобным образом получаем

Теперь из уравнения (155) находим

Пренебрегая моментами инерции участков вала, можем считать, уравнение (157) при дифференциальным уравнением крутильных колебаний цепочной системы. Полагая

(158)

где - амплитудное значение угла поворота, - круговая частота крутильных колебаний, из уравнения (157) получим

Это и есть уравнение амплитудных углов поворота при крутильных колебаниях цепочной системы.

Рис. 12.27. Крутильные колебания свютемы из двух дисков и вала

Пример. Рассмотрим крутильные колебания - динамической модели, состоящей из двух дисков, соединенных валом (рис. 12.27), Применяя уравнение (159) при находим

Крутильные колебания или вибрации возникают в процессе из-за его неравномерной по разные стороны формы и маховика. В этой статье мы поговорим о том, откуда они возникают, чем опасны, и расскажем об устройстве, снижающим воздействие этих вибраций – гаситель крутильных колебаний.

Любой маховик двигателя имеет определенную массу, которая не в полной мере сочетается с коленчатым валом мотора. При вращении коленвала, маховик, обладая большой массой, начнет колебаться, что приводит к появлению определенных вибраций не только на нем, но и на валу. Частота и амплитуда колебаний будет напрямую зависеть от массы маховика, а также его радиуса. Чем больше расстояние от края до центра и больше масса маховика, тем выше эта частота колебаний.

При уменьшении воздействия, которое прилагается от поршней и шатунов, уменьшаются и вибрации. Логично предположить, что если не прилагать большую нагрузку на коленвал, от этих вибраций можно избавиться, однако мы не в состоянии постоянно снижать нагрузку на вал, так как автомобиль все время находится в движении. Данный вид колебаний, получаемых при воздействии на маховик внешних сил, называется вынужденным.

Опасным явлением, в которое могут перерасти колебания – это резонанс. В процессе вращения маховика, он находится в механической связи с первичным валом коробки передач. Вал КПП также имеет небольшую величину вибраций, которая взаимно передается на маховик коленвала. Если эти колебания совпадают, это приводит к резонансу – пропорциональному повышению колебаний обоих механических элементов и, как следствие, к разрушению обоих валов.

Гаситель крутильных колебаний

Как вы поняли, совпадение частот этих вибраций совершенно не допустимо, именно поэтому в трансмиссии автомобиля предусмотрено специальное устройство – демпфер. Он устанавливается на диске сцепления автомобиля и имеет специальную конструкцию. Задача демпфера заключается в создании самой упругой связи диска сцепления с его небольшой ступицей на коленчатом валу.

Демпфер представляет собой пружины цилиндрической формы, которые по кругу устанавливаются на всей внутренней окружности диска сцепления. Пружины гасителя обеспечивают защиту трансмиссии автомобиля от совпадения частот колебаний маховика и сцепления на больших оборотах вращения коленвала. Однако, такое устройство не способно обеспечить надежную защиту при низких частотах колебаний. Специально для этого служить другое устройство, которое называется поглотитель низкочастотных колебаний.

В грузовых же автомобилях на сцеплении вместо демпферных пружин применяются круглые, сжимаемые при скручивании элемента. Главное отличие от демпфера – это отсутствие необходимо проводить широкую регулировку элемента. Такая пружина в процессе вращения сжимается и с помощью повышения трения передает вращающий момент на первичный вал КПП.

Видео - Теория ДВС: Коленвал часть 2, "Гаситель крутильных колебаний"

Вот так происходит снижение крутильных колебаний в двигателе и трансмиссии автомобиля при эксплуатации. Как видим, здесь нет ничего сложного или непонятного. Желаем вам удачи на дорогах!

Рассмотрим теперь явление, называемое крутильными колебаниями.

Установка, позволяющая создавать крутильные колебания состоит из штатива с зажимом для закрепления тонкой металлической проволоки, на нижнем конце которой можно подвешивать различные твердые тела (рисю1.4.3). Жестко закрепив концы проволоки в точках Аи В, повернем тело на малый угол вокруг оси проволоки Z и отпустим его. Под действием сил упругости, возникающих при кручении проволоки, тело начнет совершать колебания вокруг оси Z. Их и называют крутильными колебаниями .

Так как это один из видов движения твердого тела вокруг фиксированной оси, то его уравнение движения запишется так (см. лаб. работу № 1.3)

где I – момент инерции подвешенного тела относительно оси проволоки Z, а - момент сил упругости, действующих на тело со стороны проволоки, относительно той же оси. Но в соответствии с уравнением (3) . Тогда, учитывая, что , уравнение (6) можно представить в виде

Это уравнение гармонических колебаний (см. лаб. работу №1.6). Его общее решение можно записать в виде

где - максимальный угол закручивания проволоки (амплитуда колебаний), - начальная фаза колебаний, - циклическая частота колебаний, определяемая формулой

Тогда период крутильных гармонических колебаний

Формулу (10) можно использовать для косвенного измерения как момента инерции тела относительно произвольной оси (ее выбор определяется точкой подвеса тела), так и (с учетом формулы (2)) модуля сдвига материала проволоки.

Измерение момента инерции и модуля сдвига

Момент инерции твердого тела в ряде случаев можно легко рассчитать теоретически. В частности, момент инерции однородного диска (цилиндра), используемого в работе в качестве эталонного тела, относительно оси симметрии Z (рис.1.4.3) задается формулой

где m и D – соответственно масса и диаметр диска.

Подвешивая на одной и той же проволоке эталонное тело с известным , а затем тело с неизвестным моментом инерции I, можно экспериментально определить промежутки времени и , в течение которых совершаются и колебаний эталонным телом и телом с неизвестным моментом инерции. Тогда в соответствии с (10)

Разделив почленно (13) на (12) , после возведения полученного равенства в квадрат находим

В процессе проведения эксперимента целесообразно выбрать . Тогда с учетом (11) для неизвестного момента инерции получаем следующую расчетную формулу

Для измерения модуля сдвига материала проволоки используется только эталонное тело. В этом случае из (11) и (12) с учетом (2) получаем

Порядок выполнения работы

1. Измерить диаметр и длину проволоки.

2. Измерить массу и диаметр эталонного диска.

3. Подвесить к проволоке эталонный диск и измерить время некоторого числа крутильных колебаний (угол закручивания не должен превышать 30°).

4. Подвесить к проволоке за одну из его точек тело с неизвестным моментом инерции (прямоугольная пластина) и измерить время t такого же как для эталонного диска числа колебаний. По формуле (15) рассчитать момент инерции этого тела.

5. Действия по пункту 4 проделать еще раз для двух других точек подвеса (определив таким образом моменты инерции прямоугольной пластины относительно трех взаимно перпендикулярных осей).

6. По известному времени и соответствующему числу колебаний эталонного диска рассчитать по формуле (16) модуль сдвига материала проволоки.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. С какими физическими величинами вы познакомились при изучении теории и в процессе выполнения работы. Дайте определения этих величии.

2. Какие физические законы необходимо знать для понимания настоящей лабораторной работы? Сформулируйте эти законы и объясните, как они применяются в работе.

3. Изобразите графически зависимость от времени , , и проекции момента сил упругости на ось Z.

4. Рассчитайте теоретически моменты инерции ряда тел (диск, цилиндр, шар, конус, прямоугольный параллелепипед относительно разных осей (задача конкретизируется преподавателем)). Сравните полученные результаты с экспериментальными.

5. Получите формулу для расчета момента инерции (15) и формулу для расчета модуля сдвига (16).

6. Справедливо ли следующее утверждение: “Если масса и радиусы шара и диска равны, то момент инерции шара меньше момента инерции диска?”

Литература

1 .Савельев И.В. Курс общей физики - М. Наука, 1988. т.1. - §§ 13,26,28-33.

2. Савельев И.В. Курс общей физики - М. Наука, 1989. т.1. - §§ 38,39,41,43,53.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1.5

ИЗМЕРЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАХОВОГО

КОЛЕСА И СИЛЫ ТРЕНИЯ В ОПОРЕ

Цель работы:

1. Определить момент инерции махового колеса относительно оси вращения.

2. Определить силу трения в опорных стойках оси.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ РАБОТЫ

Моментом инерции твердого тела относительно некоторой оси оо¢ (рис.1.5) называют величину (1) где - масса i – й материальной точки, на которые на которые мысленно разбито тело , R i - ее расстояние до выбранной оси. Если масса сосредоточена в элементарном объеме , а плотность вещества в окрестности рассматриваемой точки тела

То и вместо (1) можно записать

Предлагаемый метод экспериментального определения момента инерции твердого тела основан на изменения механической энергии системы в процессе изучаемого движения (см. лаб.работу 1.2.).

где - кинетическая энергия системы, - ее собственная потенциальная энергия, - суммарная работа всех внешних сил, действующих на систему, - суммарная работа всех внутренних неконсервативных сил.

Если среди внешних сил имеются как консервативные, так и не-консервативные, то суммарная работа консервативных сил, если она не равна тождественно нулю, может быть представлена как убыль некоторой функции координат материальных точек системы , называемой потенциальной энергией системы во внешнем силовом поле. Например, система n – материальных точек, находящихся вне однородного шара массы М, обладает в его гравитационном поле потенциальной энергией вида

где и - соответственно масса i – й материальной точки и ее радиус - вектор, проведенный из центра шара, С - произвольная постоянная. С помощью выражения (4) легко показать, что в пределах небольших высот потенциальная энергия тела массы поверхности Земли равна

где g - ускорение свободного падения у поверхности Земли, h – высота центра инерции тела над произвольно выбранным у поверхности Земли нулевым уровнем потенциальной энергии (это достигается фиксацией в (4) численного значения константы С).

Представляя теперь в виде

где - - убыль потенциальной энергии системы во внешнем поле, - суммарная работа внешних неконсервативных сил, вместо (3) получаем

величину

называют полной механической энергией системы во внешнем поле.

Предлагаемый в данной работе метод определения момента инерции махового колеса основан на использовании закона изменения полной механической энергии системы в поле силы тяжести. В рассматриваемом случае на систему груз + маховик действуют внешние консервативные силы тяжести и реакции опоры, а также неконсервативные силы сопротивления воздуха и трения в опорных стойках махового колеса. Пренебрегая работой силы сопротивления воздуха и работой внутренних неконсервативных сил, пользуясь уравнением (7), запишем

где - работа силы трения в опоре.

Пусть в начальный момент времени подвешенный груз массой m (рис.1.5.2) Находится на высоте h (от наиболее низкого положе­ния, до которого может опустится груз. (рис.1.5.2). Тогда, учитывая возможность произвольного выбора нулевого уровня потенциальной энергии, начальная энергия рассматриваемой системы, в пренебрежении массой нити, будет равна

где П – сумма потенциальной энергии махового колеса со шкивом в поле силы тяжести и собственной потенциальной энергии системы. Считая, что изменение последней в. процессе движения пренебрежимо мало, в нижней точке для полной энергии получаем

Так как, по предположению, движение груза равноускоренное, то в нижней точке

где t – время опускания груза. Поскольку нить сматывается со шкива без проскальзывания, то для угловой скорости в момент t имеем

где r - радиус шкива.

Представляя (15) - (17) в уравнение (12), после преобразований получаем искомую формулу для момента инерции:

Порядок выполнения работы

1. Определить при помощи технических весов массу подвешиваемого груза m.

2. Измерить штангенциркулем радиус шкива r.

3. Намотать на шкив нить с прикрепленным к свободному концу грузом. Установить груз на высоте h 1 . Высоту h 1 отсчитать от наиболее низкого положения, на которое может опускаться груз.

4. По секундомеру определить время движения груза от верхней точки до нижнего положения.

5. Определить высоту h 2 , на которую поднимется груз за счет инерции маховика.

7. Провести измерения для трех различных подвешенных грузов.

8. Вычислить погрешности измерений f и I.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какие физические понятия используются в данной работе? Дайте их определение.

2. Сформулируйте закон изменения полной механической энергии системы во внешнем поле.

3. Какие силы называются консервативными? Эквивалентны ли понятия консервативных и потенциальных сил?

4. Запишите кинематические законы равноускоренного движения мате­риальной точки по прямой и окружности, а также формулу, связывающую линейную и угловую скорости частицы при ее движении по окружности.

5. Получить, пользуясь выражением (4), формулу (5), приняв за нулевой уровень потенциальной энергии поверхность Земли.

6. Обосновать вывод формулы для f и I. сформулировать все необходимые для этого предположения.

Литература

1. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.1. – М.: Наука, 1989, §§ 19-22,38,39,41,45,46.

Вынужденные колебания возбуждаются внешними периодически изменяющимися силами. Особенно опасными являются резонансные колебания, возникающие при совпадении собственной частоты и частоты внешних сил.

В расчетах силовых установок с поршневыми двигателями учитывают нижеследующие внешние возбудители .

Моменты от сил давления газов в цилиндрах двигателя или компрессора (главные возбудители крутильных колебаний)

где радиус кривошипа; тангенциальная сила, направленная перпендикулярно кривошипу, для одного цилиндра, отнесенного к единице площади поршня; площадь поршня.

Гармонические составляющие силы могут быть определены по справочные данным, приведенным на рис. 10 и 11 (при можно экстраполировать данные, продолжив кривые прямыми).

Гармоники тангенциальных сил 3-го порядка и выше для четырехтактного бензинового двигателя могут быть определены по формуле

где среднее индикаторное значение давления, степень сжатия двигателя; порядок гармоники (начиная с 3-й и выше).

Для гармоник порядков можно пользоваться следующими данными:

Здесь и в формуле (17) значения представляют собой гармоники тангенциальных газовых сил на единицу площади поршия одного цилиндра.

Для определения амплитудного значения гармонической силы, приложенной к колену вала, в случае действия на него многих цилиидров векторно складывают гармоники газовых сил всех цилиндров в предположении постоянства значений для всех цилиндров.

Если колено воспринимает силу от нескольких цилиндров, то при сложении моментов следует принять во внимание сдвиг по времени между кривыми тангенциальной силы от этих цилиндров, соответствующий интервалу между вспышками.

В табл. 4 приведены справочные данные для звездообразных двигателей с разным числом цилиндров.

Моменты от сил инерции движущихся масс кривошипно-шатунного механизма (следует учитывать только при определении гармоник низших порядков - от 1-й

где масса поступательно движущихся частей кривошипно-шатунного механизма одною цилиндра; - угловая скорость вала; отношение радиуса кривошипа к длине шатуна.

4. Гармоники крутящего момента в от среднего крутящего момента однорядного звездообразного двигателя (с учетом сил инерции)

(см. скан)

Моменты от сил тяжести кривошипно-шатунного механизма имеют малую величину и учитываются только для тяжелых тихоходных двигателей. Эги моменты слагаются из крутящего момента, вызываемого силой тяжести поступательно движущейся части (поршневой комплект и часть шатуна)

и крутящего момента, вызываемого силами тяжести вращающейся части кривошипно-шатунного механизма (часть шатуна, цапфа и щеки колена),

Суммарный возбуждающий крутящий момент любого порядка, определяется векторным сложением с учетом фаз гармонических моментов от газовых и инерционных сил данного порядка, действующих на кривошип цилиндра двигателя. Моментами от сил тяжести пренебрегают из-за их малости.

В табл. 5 приведены величины фазовых углов, необходимых для сложения гармоник газовых и инерционных моментов.

5. Величины фазовых углов сил и

(см. скан)

Если возмущающий крутящий момент порядка, приложенный к первому кривошипу, а угол между первым и кривошипом то гармонический момент, приложенный к кривошипу, Величина векторной суммы амплитуд крутящих момешов определяет развитие колебаний вала.

Зубчатые колеса редукторов могут быть возбудителями крутильных колебаний из-за погрешностей при их изготовлении. Частота крутильных возмущений зависит от числа зубьев делительного колеса станка, на котором обрабатывается колесо. Число зубьев соответствует числу волн ошибки на колесе. Следовательно, частота возмущения

Число оборотов зубчатого колеса.

Максимальная частота крутильных колебаний

где число зубьев зубчатого колеса.

Кроме того, могут иметь место низкочастотные составляющие спектра крутильных колебаний от накопленных погрешностей окружного шага. Частота этих колебаний где

Интенсивность крутильных колебаний зависит от точности изготовления колес и сборки редуктора.

Если динамический крутящий момент превысит средний, то будет двусторонний удар зубьев. Амплитуда таких колебаний не может быть определена расчетом. Схематизация зубчатых передач приведена в работе .

Вынужденные нерезонансные колебания возникают при условии Амплитуды их, как правило, малы. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний для массы имеет вид

Решения линейных дифференциальных уравнений типа (20) общеизвестны . Для упрощения расчета разветвленную систему превращают в цепочную, используя метод приведения масс приведены данные для двухмассной системы - пренебрежение трением вне интервала частот ±10% резонансной частоты при логарифмическом декременте колебании и вне интервала ±20% при приводит к ошибкам в вычислении упругого момента на 10%.

2. При малом трении в системе форма резонансных колебаний близка к форме свободных колебаний на резонирующей собственной частоте. Если трение велико, отличие может быть существенным (см. пространстренное изображение формы колебаний на рис. 13), особенно в случаях, когда демпфирующие элементы расположены на массах с большими относительными амплитудами. В этом случае максимумы амплитуд колебаний разных масс достигаются на различных частотах внешних сил и на частотах, меньших собственных частот системы.

3. При изменении трения в каком-либо месте системы в широких пределах все резонансные кривые проходят через узкие области изменения частот и амплитуд.

4. Если к некоторой массе системы присоединен контур, на который не действуют внешние моменты (инертная часть системы), то амплитуда ее колебаний имеет

минимумы на частотах, равных собственным частотам этого контура при условии заделки указанной массы. Такое явление называется эффектом линейного антивибратора.

Приближенный расчет нелинейных вынужденных колебаний. В настоящее время имеются алгоритмы расчетов на ЭВМ, конкурирующие с расчетами на АВМ. Если заранее известно, что в искомом решении основную роль играют одна или две гармоники, то приближенное решение может быть получено методом Галеркинэ. Результаты при гармоническом приближении полностью совпадают с результатами, полученными методом гармонической линеаризации. Последовательность расчета соответствует приведенной ниже схеме:

1) задают вид искомого решения на нелинейном участке

где частота колебаний более высокой гармоники; целое число;

2) раскладывают упругий момент после подстановки (24) в ряд Фурье на периоде и удерживают только первую и гармоники:

Графический способ решения этой задачи описан в работе }